Responde Aí

Enunciado

Quantos termos da série precisamos adicionar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada?

26-

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 4 n     e r r o < 0.002

Passo 1

Vamos fazer o teste da série alternada para:

b n = n 4 n

Vamos ver se ela é decrescente, fazendo:

b n + 1 < b n

n + 1 4 n + 1 < n 4 n

4 n 4 n + 1 × n + 1 n < 1

1 4 × 1 + 1 n < 1

1 + 1 n < 4

1 n < 3

n > 1 3

O que satisfaz, uma vez que a série começa em n = 1 .

Agora vamos aplicar o limite para n tendendo a infinito:

lim n → ∞ ⁡ n 4 n = ∞ ∞

Aplicando L’Hopital temos:

lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ 4 × 4 x = 0

Logo essa série pelo teste da série alternada temos que é uma série convergente.

Passo 2

Agora vamos encontrar n necessário para que o erro seja menor que o estabelecido no enunciado.

n 4 n < 0.002

Plotando o gráfico das duas funções nós encontraremos:

Logo para termos o erro menor devemos ter:

n = 6

Resposta

n = 6

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