Enunciado

Conforme a figura a seguir, um buraco cilíndrico é feito passando pelo centro de uma esfera. Mostre que o volume do sólido remanescente depende somente do comprimento L do buraco e não do tamanho da esfera.

Passo 1

O que o enunciado está pedindo é para gente provar que o volume desse sólido só depende de L .

A gente pode calcular esse volume por cascas cilíndricas, que tem essa carinha:

V = ∫ a b 2 π x f ( x ) d x

Isso para o volume de um sólido de rotação obtido quando a gente gira a área entre f ( x ) e o eixo x , no intervalo [ a , b ] , em torno de y .

Vamos chamar o raio do cilindro de r e o raio da esfera de R . Colocando essas coisinhas numa figura, fica assim:

Vamos começar!

Passo 2

Podemos pensar que o nosso sólido é obtido pela rotação em torno de y da área que está entre as retas x = r e x = R . E que também está dentro da circunferência x 2 + y 2 = R 2 .

Mas repara que essa região é simétrica em relação a x . Então a área acima desse eixo e abaixo são iguais. Podemos dizer então que o nosso volume vai ser duas vezes o volume obtido pela rotação da área de cima.

Aplicando cascas cilíndricas, vemos que essa área está no intervalo [ r , R ] e entre a função y = f x = R 2 - x 2 e o eixo x . Por isso, a fórmulinha fica assim:

V = ∫ a b 2 π x f ( x ) d x = ∫ r R 2 π x R 2 - x 2   d x

Mas nosso volume total é duas vezes esse volume, então temos que calcular:

V t o t a l = 2 ∫ r R 2 π x R 2 - x 2   d x

Passo 3

Agora a gente calcula essa integral. Podemos usar uma substituição simples:

u = R 2 - x 2 ∴ d u d x = - 2 x ∴ d u = - 2 x   d x

A integral fica:

∫ 4 π x R 2 - x 2 d x = ∫ - 2 π   u 1 2 d u = - 2 π ⋅ 2 3   u 3 2 = - 4 3 π   u 3 2

Voltando para x , já que u = R 2 - x 2 :

V t o t a l = ∫ r R 4 π x R 2 - x 2 d x = - 4 3 π   R 2 - x 2 3 2   | R r

V t o t a l = 4 3 π   R 2 - r 2 3 2

Passo 4

Você deve estar pensando: ué, mas esse resultado depende de R , então depende do tamanho da esfera. Nem aparece o L ali.

Realmente, você tem razão. Mas relaxa. A gente pode usar nossa esperteza aqui. Olha essa figura:

Tem um triângulo retângulo ali. Isso significa que a gente pode usar Pitágoras, nosso teorema amigo, para escrever:

R 2 = r 2 + L 2 2 ∴ L 2 2 = R 2 - r 2

Com isso, a gente pode reescrever o volume. Fica assim:

V t o t a l = 4 3 π   R 2 - r 2 3 2 = 4 3 π L 2 3

E assim, a gente prova que o volume só depende de L . Arrasamos!

Resposta

Prova nos passos

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