Enunciado

Conforme mostra a figura abaixo, uma caixa aberta deve ser construída de uma folha retangular de metal com 8 por 15 cm, cortando fora quadrados com lados de comprimento x de cada canto e dobrando os lados.

(a) Expresse o volume V como uma função de x.

(b) Encontre o domínio de V.

(c) Esboce o gráfico dafunção V obtida em (a) e estime a imagem dessa função.

(d) Com palavras, descreva como o volume V da caixa varia com x e discuta como poderiam ser construídas caixas com volume máximo.

Passo 1

(a) Show, temos que calcular o volume dessa caixa né? Deixando em função de x . O volume pode ser calculado da forma clássica:

V = A B ∙ H

Ou seja, área da base multiplicada pela altura.

Como vemos na figura do problema, a base vai ser o retângulo pontilhado e a altura será x , pois é onde terá a dobra.

Como a base é um retângulo de dimensões 15 - 2 x e 8 - 2 x (são as dimensões do retângulo pontilhado, em que se tira 2 x de cada lado) sua área será:

A B = 8 - 2 x ∙ 15 - 2 x

A B = 120 - 16 x - 30 x + 4 x 2

A B   = 4 x 2 - 46 x + 120

E já vimos que a altura vale x . Com isso, o volume será:

V x = 4 x 2 - 46 x + 120 x

V x = 4 x 3 - 46 x 2 + 120 x

E será dado em c m 3 , pois x estaria em centímetros e a área da base, em centímetros quadrados.

Passo 2

(b) O domínio é o conjunto dos valores de x .

Cara, só que x é uma medida de comprimento, então ela não pode ser negativa! Além disso, não podemos cortar quadrados com lados maiores do que 4 cm, isso porque o menor dos lados tem 8 cm e são cortados dois quadrados né?

Dessa forma, os valores de x no domínio devem estar entre 0 e 4.

Prontinho, esse é o nosso domínio: 0 < x < 4 .

Passo 3

(c) Para plotar o gráfico, temos que lembrar que não temos volume negativo! Então, só vamos pegar valores positivos do gráfico de V ( x ) . O gráfico dessa função é:

Olhando para o gráfico, podemos estimar que o valor máximo da função é mais ou menos em 9 0   c m 3 .

Como a imagem é o conjunto dos valores de V ( x ) , temos que a imagem será, aproximadamente:

0 < V x < 9 0

Passo 4

(d) O gráfico nos mostra que a caixa com volume máximo ocorre para um valor de x entre 1 e 2   c m e que o volume máximo é de aproximadamente 91   c m 3 . Além disso, o volume decresce a zero quando x se aproxima de 0 , 4 ou 7 .

Resposta

(a) V x = 4 x 3 - 46 x 2 + 120 x

(b)   0 < x < 4

(c) 0 < V x < 9 0

(d) O gráfico nos mostra que a caixa com volume máximo ocorre para um valor de x entre 1 e 2   c m e que o volume máximo é de aproximadamente 9 0   c m 3 . Além disso, o volume decresce a zero quando x se aproxima de 0 ou 4.

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