Enunciado

Considere o circuito ilustrado na figura a seguir.

Use o método esboçado no problema 19 para mostrar que a corrente I através do indutor e a diferença de tensão V através do capacitor satisfazem o sistema de equações diferenciais

d I d t = - I - V

d V d t = 2 I - V

Passo 1

Antes de tudo vamos contextualizar. O problema 19 pede para obtermos um sistema de equações diferenciais para um circuito RLC paralelo. Para isso, seguimos os seguintes passos:

Aplicar a segunda lei de Kirchhoff nos dois laços do circuito para obter as relações entre as quedas de tensão em cada componente; aplicar a primeira lei de Kirchhoff para chegar em uma relação para as correntes que atravessam cada componente; usar as equações características de tensão/corrente para cada componente; combinar as equações para encontrar o sistema que foi pedido.

Com base neste método vamos tentar chegar ao sistema de equações:

d I d t = - I - V

d V d t = 2 I - V

Vamos lá???

Passo 2

Vamos começar chamando algumas variáveis: V C , V R 1 , V R 2 e V L são as quedas de tensão no capacitor, no resistor de 1 ohm, no resistor de 2 ohms e no indutor, respectivamente. Da mesma forma, I C , I R 1 , I R 2 e I L são as correntes correspondentes. Então, no final devemos chegar ao sistema:

d I L d t = - I L - V C

d V C d t = 2 I L - V C

Agora, vamos ao método. Nosso primeiro passo será aplicar a segunda lei de Kirchhoff no primeiro laço:

Como a corrente (em azul) atravessa o capacitor, o resistor de 1 ohm e o indutor na direção negativo-positivo, as tensões V C , V R 1 e V L são positivas. Além disso, como não temos fontes de tensão no laço a somatória das tensões é zero. Então:

V C + V R 1 + V L = 0

Vamos agora para o segundo laço:

Como a corrente (em azul) atravessa o resistor de 2 ohms na direção negativo-positivo, a tensão V R 2 é positiva. Da mesma forma, como a corrente passa pelo capacitor na direção positivo-negativo a tensão V C é negativa. Além disso, como não temos fontes de tensão no laço a somatória das tensões é zero. Então:

V R 2 - V C = 0

O próximo passo é aplicarmos a primeira Lei de Kirchhoff no circuito. Ela diz que a somatória das correntes que saem do nó é igual à soma das correntes que entram no nó. Vamos usar o seguinte nó para aplicar a lei:

Podemos ver que o nó que escolhemos possui uma corrente saindo e uma corrente entrando no nó. Então:

I e n t = I R 1

I s a í d a = I L

Pela primeira Lei de Kirchhoff:

I e n t = I s a í d a

I R 1 = I L

Vamos aplicar novamente a primeira lei de Kirchhoff para outro nó:

Podemos ver que este nó possui duas correntes saindo e uma corrente entrando no nó. Então:

I e n t = I L

I s a í d a = I C + I R 2

Pela primeira Lei de Kirchhoff:

I e n t = I s a í d a

I R 2 + I C = I L

Passo 3

Nosso próximo passo será usar as equações características de cada componente.

Para um capacitor é válida a relação:

d V d t = I C

Então

d V C d t = I C C

d V c d t = I C 1 2

d V C d t = 2 I C

A queda de tensão em um resistor é dada pela relação:

V = R I

Portanto

V R 1 = R 1 I R 1

V R 1 = 1 I R 1 = I R 1

E

V R 2 = R 2 I R 2

V R 2 = 2 I R 2

Para um indutor a queda é tensão pode ser escrita por:

L d I d t = V

L d I L d t = V L

d I L d t = V L

Pela lei de Kirchhoff vimos que:

V C + V R 1 + V L = 0

V L = - V c - V R 1

E

I R 1 = I L

Como

V R 1 = I R 1 = I L

Chegamos em:

V L = - V C - I L

d I L d t = - V C - I L

Pela segunda Lei de Kirchhoff:

I R 2 + I C = I L

I C = I L - I R 2

Pela equação do capacitor:

d V C d t = 2 I C

d V C d t = 2 ( I L - I R 2 )

Pela equação do resistor:

V R 2 = 2 I R 2

I R 2 = V R 2 2

E também vimos que

V R 2 - V C = 0

V R 2 = V C

Então:

I R 2 = V C 2

E

d V C d t = 2 I L - V C 2

d V C = 2 I L - V C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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