Enunciado

Considere os dois tanques interligados na figura a seguir. O tanque 1 contém, inicialmente, 30 gal de água e 25 oz de sal, enquanto o tanque 2 contém, inicialmente, 20 gal de água e 15 oz de sal. Entra no tanque 1 uma mistura de água contendo 1 oz/gal de sal a uma taxa de 1,5 gal/min. A mistura flui do tanque 1 para o tanque 2 a uma taxa de 3 gal/min. Entra também, no tanque 2 (vindo de fora) uma mistura de água contendo 3 oz/gal de sal a uma taxa de 1 gal/min. A mistura escorre do tanque 2 a uma taxa de 4 gal/min e parte dela volta para o tanque 1 a uma taxa de 1,5 gal/min, enquanto o restante deixa o sistema.

(a) Sejam Q 1 ( t ) e Q 2 ( t ) , respectivamente, as quantidades de sal em cada tanque no instante t . Escreva as equações diferenciais e as condições iniciais que modelam o processo de fluxo. Observe que o sistema de equações diferenciais é não homogêneo.

(b) Encontre os valores de Q 1 e Q 2 para os quais o sistema está em equilíbrio, ou seja, não varia com o tempo. Sejam Q 1 E e Q 2 E os valores de equilíbrio. Você pode prever qual tanque atingirá seu estado de equilíbrio mais rapidamente?

(c) Sejam x 1 t = Q 1 t - Q 1 E e x 2 t = Q 2 t - Q 2 E . Determine um problema de valor inicial para x 1 e x 2 . Observe que o sistema de equações para x 1 e x 2 é homogêneo.

Passo 1

Temos dois tanques com quantidades de sal Q 1 ( t ) e Q 2 ( t ) . Os dois tanques são abastecidos continuamente e os dois tanques trocam vazões entre si. Sabendo disso, o exercício nos pede para encontrar a quantidade de sal em cada tanque ao longo do tempo. Vamos lá???

Nosso primeiro passo será estabelecer um volume de controle ao redor do tanque 1:

Vamos começar calculando a taxa de sal que entra pelo duto. Temos uma mistura de concentração 1 oz/gal de sal entrando a uma taxa de 1,5 gal/min.

Então:

S a l e n t 1 = 1 o z / g a l x 1,5   g a l / m i n

S a l e n t 1 = 1,5   o z / m i n

O tanque 1 transmite uma vazão de água de 3 gal/min para o tanque 2, a uma concentração de C 1 = s a l v o l u m e = Q 1 30   o z / g a l . Analogamente, o tanque 1 recebe uma vazão de 1,5 gal/min do tanque 2, com uma concentração C 2 = Q 2 20   o z / g a l . O balanço de massa de sal para o tanque 1 fica:

d Q 1 d t = S a l e n t - S a l s a í d a

d Q 1 d t = 1,5 o z m i n + 1,5 x Q 2 20 - 3 x Q 1 30

d Q 1 d t = 1,5 + 3 40 Q 2 - 1 10 Q 1

Vamos agora realizar o mesmo procedimento para o tanque 2:

Vamos começar calculando a taxa de sal que entra pelo duto. Temos uma mistura de concentração 3 oz/gal de sal entrando a uma taxa de 1 gal/min.

Então:

S a l e n t 2 = 3   o z / g a l x 1   g a l / m i n

S a l e n t 2 = 3   o z / m i n

O tanque 2 perde água a uma vazão de 4 gal/min, a uma concentração de C 2 = Q 2 20   o z / g a l . Além disso, o tanque 2 recebe uma vazão de 3 gal/min do tanque 1, com uma concentração C 1 = s a l v o l u m e = Q 1 30   o z / g a l . O balanço de massa de sal para o tanque 2 fica:

d Q 2 d t = S a l e n t - S a l s a í d a

d Q 2 d t = 3 o z m i n - 4 x Q 2 20 + 3 x Q 1 30

d Q 2 d t = 3 - 1 5 Q 2 + 1 10 Q 1

Passo 2

O item (b) nos pede para encontrar as concentrações de sal de equilíbrio. No equilíbrio, as concentrações de sal não variam com o tempo, ou seja, d Q 1 d t = 0 e d Q 2 d t = 0 . Ficamos então com:

d Q 1 d t = 1,5 + 3 40 Q 2 - 1 10 Q 1 d Q 2 d t = 3 - 1 5 Q 2 + 1 10 Q 1

0 = 1,5 + 3 40 Q 2 E - 1 10 Q 1 E 0 = 3 - 1 5 Q 2 E + 1 10 Q 1 E

Somando as equações:

0 = 4,5 + 3 40 - 1 5 Q 2 E

4,5 = 8 40 - 3 40 Q 2 E

4,5 = 5 40 Q 2 E

Q 2 E = 36   o z / g a l

Então:

0 = 1,5 + 3 40 Q 2 E - 1 10 Q 1 E

1 10 Q 1 E = 1,5 + 3 40 x 36

1 10 Q 1 E = 1,5 + 3 * 0,9

1 10 Q 1 E = 4,2

Q 1 E = 42   o z / g a l

Como os dois tanques estão interligados é esperado que o equilíbrio só seja atingido quando os dois tanques chegarem ao estado de equilíbrio. Assim, o sistema só entra em equilíbrio se os dois tanques atingirem a concentração de equilíbrio.

Passo 3

Devemos agora aplicar as funções x 1 t = Q 1 t - Q 1 E e x 2 t = Q 2 t - Q 2 E no sistema de equações diferenciais e verificar que chegaremos a um sistema homogêneo. Vamos lá?

Voltando para o sistema que encontramos:

d Q 1 d t = 1,5 + 3 40 Q 2 - 1 10 Q 1 d Q 2 d t = 3 - 1 5 Q 2 + 1 10 Q 1

Vamos chamá-lo de sistema (I). Se aplicarmos a condição de equilíbrio Q 1 = Q 1 E e Q 2 = Q 2 E ficaremos com:

d Q 1 E d t = 1,5 + 3 40 Q 2 E - 1 10 Q 1 E d Q 2 E d t = 3 - 1 5 Q 2 E + 1 10 Q 1 E

Vamos chamá-lo de sistema (II).

Se fizermos agora sistema (I)-sistema (II):

d Q 1 d t - d Q 1 E d t = 1,5 + 3 40 Q 2 - 1 10 Q 1 - 1,5 + 3 40 Q 2 E - 1 10 Q 1 E d Q 2 d t - d Q 2 E d t = 3 - 1 5 Q 2 + 1 10 Q 1 - 3 - 1 5 Q 2 E + 1 10 Q 1 E

Rearranjando:

d d t Q 1 - Q 1 E = 1,5 - 1,5 + 3 40 Q 2 - Q 2 E - 1 10 Q 1 - Q 1 E d d t Q 2 - Q 2 E = 3 - 3 - 1 5 Q 2 - Q 2 E + 1 10 ( Q 1 - Q 1 E )

d x 1 d t = 3 40 x 2 - 1 10 x 1 d x 2 d t = - 1 5 x 2 + 1 10 ( x 1 )

d x 1 d t - 3 40 x 2 + 1 10 x 1 = 0 d x 2 d t + 1 5 x 2 - 1 10 x 1 = 0

Portanto, provamos que a substituição por x 1 e x 2 gera um sistema homogêneo.

Nosso último passo é definir as condições de valor inicial.

x 1 0 = Q 1 0 - Q 1 E

x 1 0 = 25 - 42 = - 17   o z

x 2 0 = Q 2 0 - Q 2 E

x 2 0 = 15 - 36 = - 21   o z

x 1 ' 0 = 3 40 x 2 ( 0 ) - 1 10 x 1 ( 0 )

x 1 ' 0 = 3 40 - 21 - 1 10 - 17 = 1 / 8

x 2 ' 0 = - 1 5 x 2 ( 0 ) + 1 10 x 1 ( 0 )

x 2 ' 0 = - 1 5 - 21 + 1 10 - 17 = 2,5

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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