Enunciado

Considere a curva y = x 2 3 .

  1. Esboce a parte da curva entre x = - 1   e   x = 8 .
  2. Explique por que a Fórmula (4) não pode ser usada para encontrar o comprimento da curva esboçada em (a).
  3. Encontre o comprimento de arco da curva esboçada em (a).

Passo 1

E aí, tudo joia?

  1. Vamos começar esboçando a curva:
  2. Tá aí! esse é o esboço da curva no intervalo pedido😊

    Passo 2

  3. A fórmula 4, que é:
  4. L = ∫ a b 1 + f ' x 2   d x

    Não pode ser aplicada, por que a derivada não existe no ponto x = 0 , então ela não é contínua.

    Passo 3

  5. Pra calcular então, a gente vai ter dividir em duas partes e colocar essa função sendo uma função de y .

y = x 2 3 → x = y 3 2

E aí usamos o intervalo de 0     a   1 e de 0   a   4 em y , como vemos no gráfico.

Derivando a função, temos:

x ' = 3 2 y 1 2

Aí as integrais ficam:

∫ 0 1 1 + 3 2 y 1 2 2   d y + ∫ 0 4 1 + 3 2 y 1 2 2   d y

Passo 2

Resolvendo as integrais agora:

∫ 0 1 1 + 9 4 y   d y + ∫ 0 4 1 + 9 4 y   d y

Fazemos uma substituição:

u = 1 + 9 4 y → d u = 9 4 d y → 4 9 d u = d y

4 9 ∫ u   d u = 4 9 2 3 u 3 2 = 8 27 u 3 2

Agora voltamos para a variável y :

8 27 1 + 9 4 y 3 2 0 1 +   8 27 1 + 9 4 y 3 2 0 4

= 8 27 13 4 3 / 2 + 8 27 10 3 / 2

= 8 27 13 4 3 2 + 10 3 2

E pronto! Calculamos o comprimento da curva😉

Resposta

8 27 13 4 3 2 + 10 3 2

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