Enunciado

19. Considere a equação diferencial linear não homogênea de ordem n

a 0 y n + a 1 y n - 1 + … + a n y = g t                                         ( i )

em que a 0 ,   .   .   .   ,   a n são constantes. Verifique que, se g ( t ) tiver a forma

e α t b 0 t m + … + b m

então a substituição y   =   e α t υ ( t ) reduz a E q .   ( i ) à forma

k 0 v n + k 1 v n - 1 + … + k n v = b 0 t m + … + b m                           ( i i )

em que k 0 ,   .   .   .   ,   k n são constantes. Determine k 0 e k n em função dos a i e de α . Assim, o problema de determinar uma solução particular da equação original é reduzido ao problema mais simples de determinar uma solução particular de uma equação com coeficientes constantes e contendo um polinômio como termo não homogêneo.

Passo 1

Nessa questão, vamos considerar a equação diferencial linear não-homogénea de ordem n ,

a 0 y n + a 1 y n - 1 + … + a n y = g t

Aqui, a 0 ,   .   .   .   ,   a n são constantes e

g t = e α t b 0 t m + … + b m

Dessa forma

a 0 y n + a 1 y n - 1 + … + a n y = e α t b 0 t m + … + b m

Nosso objetivo é verificar que se,  y   =   e α t υ ( t ) então, a equação acima se reduz à forma

k 0 v n + k 1 v n - 1 + … + k n v = b 0 t m + … + b m

Aqui  k 0 ,   .   .   .   ,   k n são constantes. Assim, podemos encontrar k 0 e k n  em termos de  a i e de α .

Passo 2

Para começar a resolver este problema, vamos considerar a equação diferencial linear não-homogénea de ordem n :

a 0 y n + a 1 y n - 1 + … + a n y = e α t b 0 t m + … + b m

 Vamos também supor que y   =   υ t u t seja uma solução para a equação diferencial dada acima. Sendo assim, podemos diferenciar a equação da seguinte forma:

y ' = v ' u + v u '

y ' ' = v ' ' u + 2 v ' u ' + v u ' '

y ' ' ' = v ' ' ' u + 3 v ' ' u ' + 3 v ' u ' ' + v u ' ' '

Podemos ver que a denunciação está formando um padrão, assim, temos que:

y n = ∑ j = 0 n n j v n - j u j

Se considerarmos u t = e α t então temos que u j = α j e α t . Assim temos que:

y n = e α t ∑ j = 0 n n j α j v n - j

Passo 3

Agora, vamos substituir o resultado encontrado no passo anterior na equação diferencial linear não-homogénea de ordem n abaixo. Assim temos:

a 0 e α t ∑ j = 0 n n j α j v n - j + a 1 e α t ∑ j = 0 n - 1 n - 1 j α j v n - 1 - j + … + a n e α t υ = e α t b 0 t m + … + b m

Podemos rescrever a equação diferencial de uma forma mais compacta, onde p = 1 ,   2 ,   … ,     n . Assim temos:

e α t ∑ p = 0 n a n - p ∑ j = 0 p p j α j v p - j = e α t b 0 t m + … + b m

Podemos escrever a expressão a direita da seguinte forma:

L e α t v = e α t ∑ p = 0 n a n - p ∑ j = 0 p p j α j v p - j

Do lado direito da equação acima, podemos dizer que ela tema a seguinte forma:

e α t k 0 v n + k 1 v n - 1 + k n - 1 v ' + k n v

Assim, podemos fazer a seguinte relação:

L e α t v = e α t ∑ p = 0 n a n - p ∑ j = 0 p p j α j v p - j = e α t b 0 t m + … + b m

E consequentemente:

L e α t v = e α t b 0 t m + … + b m

e α t k 0 v n + k 1 v n - 1 + k n - 1 v ' + k n v = e α t b 0 t m + … + b m

k 0 v n + k 1 v n - 1 + k n - 1 v ' + k n v = b 0 t m + … + b m

Passo 4

Os coeficientes k i ,   i = 0 ,   1 ,   … ,   n pode ser determinado coletando os termos semelhantes no somatório duplo na equação

k 0 v n + k 1 v n - 1 + k n - 1 v ' + k n v = ∑ p = 0 n a n - p ∑ j = 0 p p j α j v p - j

Por exemplo, k 0 é o coeficiente de v n . Assim, temos que o único termo que contém v n é quando p = n e   j = 0 . Portanto:

k 0 = a 0

Por outro lado, k n é o coeficiente de v ( t ) . O somatório interno em

∑ p = 0 n a n - p ∑ j = 0 p p j α j v p - j

Contém termos com v , dados por α p v (quando j = p ), para cada p = 0 ,   1 ,   . . . ,   n . Consequentemente

k n = ∑ p = 0 n a n - p α p

Então, os termos que contêm v n - 1 são:

k 1 = a 1 + a 0 α

Os termos que contêm  v n - 2 são:

k 2 = a 2 + a 1 α + a 0 α 2

E assim sucessivamente

k n = a n + a n - 1 α + a n - 2 α 2 + … + a 1 α n - 1 + a n

Resposta

k n = ∑ p = 0 n a n - p α p

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