Enunciado

Em cada um dos problemas de 13 a 18, determine uma forma adequada para Y ( t ) se for utilizado o método dos coeficientes indeterminados. Não calcule as constantes.

17.

y ( 4 ) -   y ' ' ' - y ' ' + y ' = t 2 + 4 + t sen ⁡ t

Passo 1

Peguemos a equação ordinária dada no problema:

y ( 4 ) -   y ' ' ' - y ' ' + y ' = t 2 + 4 + t sen ⁡ t

Pensando nela, vamos encontrar nossa equação característica, que terá o seguinte formato:

p r = r 4 - r 3 - r 2 + r = 0

r ( r 3 - r 2 - r + 1 ) = 0

Temos portanto que:

r = 0

E da expressão entre parênteses:

r 3 - r 2 - r + 1 = 0

As possíveis raízes desse polinômio serão:

r = ± 1

Testando:

p 1 = 0

p - 1 = 0

Logo tanto 1 quanto -1 são raízes da equação. Dessa forma:

r - 1 r + 1 = r 2 - 1

Fazendo a divisão de polinômio:

r 3 - r 2 - r + 1 r 2 - 1 = r - 1  

Portanto:

r - 1 = 0

r = 1

Assim, teremos as seguintes raízes:

r 1 = 0

r 2 = 1

r 3 = - 1

r 4 =   1

Passo 2

Agora observem que como a equação ordinária dada no exercício, não está igualada a zero, temos um exemplo de EDO não homogênea. Então vem comigo e vamos resolver a homogênea associada:

Dicazinha:

Para montar a homogênea associada, lembre-se que:

→ P a r a   d u a s   r a í z e s   i g u a i s :   y = C 1 e r 2 t + C 2 t e r 4 t

→ P a r a   d u a s   r a í z e s   d i f e r e n t e s : y = C 3 e r 1 t + C 4 e r 3 t

Logo, a homogênea associada será:

y t = C 1 e t + t C 2 e t + C 3 + C 4 e - t

Passo 3

Agora precisamos encontrar as soluções particulares

Para a primeira solução particular, temos que:

f x =   t 2 + 4

Então nossa solução particular será:

Y 1 p t = t s ( A + B t + C t 2 )

Se S=0, então:

Y 1 p t = A + B t + C t 2

Note que a parcela A, é solução da homogênea associada. C o n s i d e r e :   C 3 = A ,   C 1 = 0 ,   C 2 = 0   e   C 4 = 0 ,   p o r t a n t o   n ã o   é   a c e i t á v e l   S = 0

Se S=1, então:

Y 1 p t = t ( A + B t + C t 2 )

Note que, nenhuma parcela é solução da homogênea associada, então encontramos a primeira solução particular.

Para a segunda solução particular, temos que:

f x = t sen ⁡ t

Então, teremos:

Y 2 p t = t s ( D + E t cos ⁡ t + F + G t sen ⁡ t )

Se S=0, então:

Y 2 p t =   D + E t cos ⁡ t + F + G t sen ⁡ t

Note que, nenhuma parcela é solução da homogênea associada, então encontramos a segunda solução particular.

Agora podemos somar as duas soluções particulares encontradas e achar a solução particular global, ou seja, a que foi pedida no enunciado:

Y t = t ( A + B t + C t 2 ) + D + E t cos ⁡ t + F + G t sen ⁡ t

Resposta

Y t = t ( A + B t + C t 2 ) + D + E t cos ⁡ t + F + G t sen ⁡ t

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