Mostre que sum_(k = 2)^(oo) (- 1)^(k + 1) (k - 1)/(k) sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n^k) = gamma - (3)/(2) + ln 2 , onde gamma é a constante de Euler, isto é gamma = underset(n -> oo)(lim) [(1 + (1)/(2) + (1)/(3) + ... + (1)/(n)) - ln n] Passo 1Queremos calcular I = sum_(k = 2)^(oo) (- 1)^(k + 1) (k - 1)/(k) sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n^k) Invertendo a ordem das somas: I = - sum_(n = 2)^(oo) sum_(k = 2)^(oo) (- 1)^k (k - 1)/(k) (1)/(n^k) Mas vimos no item (a) que sum_(k = 2)^(oo) (- 1)^k (k - 1)/(k) (1)/(n^k) = ln (n + 1) - ln n - (1)/(n + 1) Assim, I = - sum_(n = 2)^(oo) (ln (n + 1) - ln n - (1)/(n + 1)) Passo 2Note que a primeira parte da soma é telescópica: sum_(k = 2)^N ln (n + 1) - ln n = ln 3 - ln 2 + ln 4 - ln 3 + ... + ln N - ln ( N - 1 ) + ln ( N + 1 ) - ln N Portanto, sum_(k = 2)^N (ln (n + 1) - ln n) = - ln 2 + ln ( N + 1 ) Portanto, sum_(k = 2)^(oo) (ln (n + 1) - ln n) = - ln 2 + underset(N -> oo)(lim) ln (N + 1) Mas como underset(N -> oo)(lim) ln (N + 1) = underset(N -> oo)(lim) ln N Temos que I = - (- ln 2 + underset(N -> oo)(lim) ln N) - (- sum_(n = 2)^(oo) (1)/(1 + n)) Portanto, I = ln 2 - underset(N -> oo)(lim) ln N + sum_(n = 2)^(oo) (1)/(1 + n) Passo 3Vamos olhar para a soma que restou: sum_(n = 2)^(oo) (1)/(1 + n) Vamos fazer a mudança de variáveis p = 1 + n : sum_(n = 2)^(oo) (1)/(1 + n) = sum_(p = 3)^(oo) (1)/(p) = - (3)/(2) + 1 + (1)/(2) + sum_(p = 3)^(oo) (1)/(p) Note que eu somei e subtrai - 3 // 2 de um jeito conveniente! Assim, podemos escrever 1 + (1)/(2) + sum_(p = 3)^(oo) (1)/(p) = sum_(p = 1)^(oo) (1)/(p) Portanto, sum_(n = 2)^(oo) (1)/(1 + n) = - (3)/(2) + sum_(p = 1)^(oo) (1)/(p) = - (3)/(2) + underset(N -> oo)(lim) (1 + (1)/(2) + (1)/(3) + ... + (1)/(N)) Com isso, obtemos que I = ln 2 - underset(N -> oo)(lim) ln N + sum_(n = 2)^(oo) (1)/(1 + n) = ln 2 - underset(N -> oo)(lim) ln N - (3)/(2) + underset(N -> oo)(lim) (1 + (1)/(2) + (1)/(3) + ... + (1)/(N)) Ou ainda, I = underset(N -> oo)(lim) [(1 + (1)/(2) + (1)/(3) + ... + (1)/(N)) - ln N] - (3)/(2) + ln 2 Definindo gamma = underset(N -> oo)(lim) [(1 + (1)/(2) + (1)/(3) + ... + (1)/(N)) - ln N] Provamos que sum_(k = 2)^(oo) (- 1)^(k + 1) (k - 1)/(k) sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n^k) = gamma - (3)/(2) + ln 2 RespostaDemonstração. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroVer TambémVer Livro Guidorizzi - Vol. 4 Ver exercício 13.8 - 2cVer exercício 2.1 - 21c