Mostre que

sum_(k = 2)^(oo) (- 1)^(k + 1) (k - 1)/(k) sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n^k) = gamma - (3)/(2) + ln 2 ,

onde gamma é a constante de Euler, isto é

gamma = underset(n -> oo)(lim) [(1 + (1)/(2) + (1)/(3) + ... + (1)/(n)) - ln n]

Passo 1

Queremos calcular

I = sum_(k = 2)^(oo) (- 1)^(k + 1) (k - 1)/(k) sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n^k)

Invertendo a ordem das somas:

I = - sum_(n = 2)^(oo) sum_(k = 2)^(oo) (- 1)^k (k - 1)/(k) (1)/(n^k)

Mas vimos no item (a) que

sum_(k = 2)^(oo) (- 1)^k (k - 1)/(k) (1)/(n^k) = ln (n + 1) - ln n - (1)/(n + 1)

Assim,

I = - sum_(n = 2)^(oo) (ln (n + 1) - ln n - (1)/(n + 1))

Passo 2

Note que a primeira parte da soma é telescópica:

sum_(k = 2)^N ln (n + 1) - ln n = ln 3 - ln 2 + ln 4 - ln 3 + ... + ln N - ln ( N - 1 ) + ln ( N + 1 ) - ln N

Portanto,

sum_(k = 2)^N (ln (n + 1) - ln n) = - ln 2 + ln ( N + 1 )

Portanto,

sum_(k = 2)^(oo) (ln (n + 1) - ln n) = - ln 2 + underset(N -> oo)(lim) ln (N + 1)

Mas como

underset(N -> oo)(lim) ln (N + 1) = underset(N -> oo)(lim) ln N

Temos que

I = - (- ln 2 + underset(N -> oo)(lim) ln N) - (- sum_(n = 2)^(oo) (1)/(1 + n))

Portanto,

I = ln 2 - underset(N -> oo)(lim) ln N + sum_(n = 2)^(oo) (1)/(1 + n)

Passo 3

Vamos olhar para a soma que restou:

sum_(n = 2)^(oo) (1)/(1 + n)

Vamos fazer a mudança de variáveis p = 1 + n :

sum_(n = 2)^(oo) (1)/(1 + n) = sum_(p = 3)^(oo) (1)/(p) = - (3)/(2) + 1 + (1)/(2) + sum_(p = 3)^(oo) (1)/(p)

Note que eu somei e subtrai - 3 // 2 de um jeito conveniente! Assim, podemos escrever

1 + (1)/(2) + sum_(p = 3)^(oo) (1)/(p) = sum_(p = 1)^(oo) (1)/(p)

Portanto,

sum_(n = 2)^(oo) (1)/(1 + n) = - (3)/(2) + sum_(p = 1)^(oo) (1)/(p) = - (3)/(2) + underset(N -> oo)(lim) (1 + (1)/(2) + (1)/(3) + ... + (1)/(N))

Com isso, obtemos que

I = ln 2 - underset(N -> oo)(lim) ln N + sum_(n = 2)^(oo) (1)/(1 + n) = ln 2 - underset(N -> oo)(lim) ln N - (3)/(2) + underset(N -> oo)(lim) (1 + (1)/(2) + (1)/(3) + ... + (1)/(N))

Ou ainda,

I = underset(N -> oo)(lim) [(1 + (1)/(2) + (1)/(3) + ... + (1)/(N)) - ln N] - (3)/(2) + ln 2

Definindo

gamma = underset(N -> oo)(lim) [(1 + (1)/(2) + (1)/(3) + ... + (1)/(N)) - ln N]

Provamos que

sum_(k = 2)^(oo) (- 1)^(k + 1) (k - 1)/(k) sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n^k) = gamma - (3)/(2) + ln 2

Resposta

Demonstração.

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