Enunciado

Considere a função f dada por f x = x 2 + 4 x + 5

a ) Mostre que f x = x + 2 2 + 1

b ) Esboce o gráfico de f

c )   Qual o menor valor de f ( x ) ? Em que x este menor valor é atingido?

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vou ajudar vocês nessa questão, vamos lá?

Considerando a função dada f x = x 2 + 4 x + 5 , a fim de mostrar a igualdade da letra a ) , podemos fazer o que eu chamo de “truque sujo”, ou a técnica de completar o quadrado.

Mas o que é isso? Bom, lembrando-se de produtos notáveis temos:

A + B 2 = A 2 + 2 A B + B 2

O que queremos mostrar é a equivalência de:

x + 2 2 + 1 = x 2 + 4 x + 5

Certo?

Então saca só o truque sujo! Comparando as duas expressões, podemos chamar de A = x e B = 2 , não é?

Mas não faltaria um B 2 , ou melhor, um 4 na expressão da direita? Pois aqui que mora o truque sujo! Dá uma olhada naquele 5 dando sopa: ele não pode ser escrito como 4 + 1 ? PODE!

E é isso que vou fazer!

f x = x 2 + 4 x + 4 + 1

É a mesma expressão que tínhamos antes, certo? E sabendo da propriedade dos produtos notáveis, podemos juntar os três primeiros termos do lado direito e escrever como x + 2 2 :

f x = x + 2 2 + 1

E é exatamente isso que o problema pede pra mostrar! Eu acho um super truque sujo! Mas na verdade a técnica de transformar um polinômio em um produto notável é de “completar quadrado”, pois aqui nós reescrevemos a expressão a fim de que ela fique na forma de um quadrado perfeito =)

Beleza? Bora pra próxima?

Passo 2

Agora o problema pede para esboçar o gráfico. Bom, a f ( x ) é uma função de segunda ordem, portanto a cara dela é de uma parábola. E parábola nós desenhamos a partir de quatro pontos:

As duas raízes (onde o gráfico corta o eixo x   ∴ f x = 0 );

O ponto do termo independente (onde o gráfico corta o eixo y   ∴ f ( 0 ) )

E o vértice: que mostra onde o gráfico vai apresentar o valor máximo (se a parábola tiver boca para baixo ( a < 0 ) ) ou um mínimo (se a parábola tiver boca para cima ( a > 0 ) ).

Então vamos aos pontos?

Vamos achar as raízes da função:

x 2 + 4 x + 5 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara temos:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 4 ± 4 2 - 4.1 . 5 2.1 = - 4 ± - 4 2

Xiiii! Aqui temos um probleminha, o valor de Δ é negativo, ou seja, essa função não admite raízes reais: ela está “voando”. Mas tudo bem! Temos mais dois outros pontos para determinar. Bora lá?

Agora onde a função corta o eixo vertical: f ( 0 ) :

f 0 = 0 2 + 4.0 + 5 = 5

Certo! Achamos o ponto ( 0,5 ) .

Por fim, vamos ao vértice. A coordenada x do vértice é x v = - b / 2 a então:

x v = - 4 2.1 = - 2

E a coordenada y é dada por y v = - Δ / 4 a :

y v = - - 4 4.1 = 1

Perfeito! O outro ponto é ( - 2,1 ) . Como essa parábola tem a = 1 > 0 , ela tem boca para cima, então o vértice representa o valor mínimo que ela pode assumir.

Para poder fazer um desenho mais preciso, vou determinar dois pontos em torno do vértice:

f - 1 = - 1 2 + 4 . - 1 + 5 = 2   ∴ ( - 1,2 )

f - 3 = - 3 2 + 4 . - 3 + 5 = 2   ∴ ( - 3,2 )

Agora sabendo todos esses pontos, podemos colocar num gráfico:

Beleza, vamos pra última parte da questão?

Passo 3

Então, aqui a questão pergunta qual o menor valor atingido pela f ( x ) . Em se tratando de uma parábola com boca para cima, o menor valor atingido será no ponto de abscissa x v e de ordenada y v , que já calculamos no passo anterior:

f - 2 = 1

Assim o menor valor atingido será de 1 , com x = - 2 .

Resposta

( a ) x + 2 2 + 1 = x 2 + 4 x + 5

( b )

  c f - 2 = 1

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Com relação à função dada, determine a raízes (caso existam), o maior ou o menor valor e esboce o gráfico. a ) f x = x 2 - 3 x + 2
Com relação à função dada, determine a raízes (caso existam), o maior ou o menor valor e esboce o gráfico. c ) f x = x 2 - 4 x + 4