Derive.

f(x) = cos(x) / sen^2(x)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da divisão:

f ' x = g ' x h x - g x h ' x h x 2

Onde:

g x = cos ⁡ x

e

h x = sen 2 ⁡ x

Assim temos então que:

cos ⁡ x sen 2 ⁡ x ' = g ' x h x - g x h ' x h x 2 = cos ⁡ x ' sen 2 ⁡ x - cos ⁡ x sen 2 ⁡ x ' sen 2 ⁡ x 2

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica e do polinômio, além da regra da cadeia:

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

x n ' = n x n - 1

y ' = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 3

Primeiro vamos calcular g ' x :

g ' x = cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Agora para h ' x :

h ' x = sen 2 ⁡ x ' = 2 sen 2 - 1 ⁡ x ⋅ sen ⁡ x ' = 2 sen ⁡ x ⋅ cos ⁡ x = 2 sen ⁡ x cos ⁡ x

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

f ' x = cos ⁡ x sen 2 ⁡ x ' = cos ⁡ x ' sen 2 ⁡ x - cos ⁡ x sen 2 ⁡ x ' sen 2 ⁡ x 2 = - sen ⁡ x sen 2 ⁡ x - cos ⁡ x 2 sen ⁡ x cos ⁡ x sen 4 ⁡ x = - sen 2 ⁡ x - 2 cos 2 ⁡ x sen 3 ⁡ x

Resposta

f ' x = - sen 2 ⁡ x - 2 cos 2 ⁡ x sen 3 ⁡ x

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