Considere a função f(x) = 1 / (x^α) , x >= 1 e α > 1 . Seja E > 1 um real dado.

Calcule a área do retângulo limitado pela reta x = E^k , x = E^(k+1) , y = f(E^k) e y = 0 , onde k é um natural dado.

Passo 1

A seguir temos um esboço do retângulo mencionado:

A base do retângulo é b a s e = E k + 1 - E k e a altura é a l t u r a = f E k . A área do retângulo é

A = b a s e ⋅ a l t u r a

Logo,

A = E k + 1 - E k   f E k

Podemos escrever

A = E k E - 1   f E k

Passo 2

Mas lembre-se que

f x = 1 x α

Assim,

f E k = 1 E k α = 1 E k α

Portanto,

A = E k   E - 1 ⋅ 1 E k α

Com isso, obtemos

A = E - 1 E k α - 1

Resposta

A = E - 1 E k α - 1

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