Seja um dado real, com Seja uma função definida em dada por Determine uma série de Fourier, com pelo menos dois coeficientes não nulos, que convirja uniformemente a em Justifique.
Passo 1
Primeiro vamos pensar em uma função contínua, de classe por partes em , tal que e que coincida com no intervalo
PERAE! Mas pra que essas condições??
Porque existe um Teorema que fala que, quando satisfeitas essas condições, podemos encontrar uma série de Fourier que convirja uniformemente à própria função no intervalo dado.
Em outras palavras a série:
Ou seja,
E deve ser tal, de forma que essa série convirja também para no intervalo :
Passo 2
Repare que, uma função resolve o problema.
Então lembrando, seja:
Vamos encontrar cada coeficiente:
-
Como inteiro e , então para qualquer
Portanto:
Passo 3
Por último:
Mas repare que como :
Ou seja,
Portanto uma série tomando
Perceba que como é contínua em , então a série:
Quando .
Resposta
Concluímos então que com é uma função cuja série de Fourier converge para