Seja a um dado real, com 0 < a < pi. Seja f uma função definida em [-pi, -a] ∪ [a, pi], dada por f(x) = 1 Determine uma série de Fourier, com pelo menos dois coeficientes não nulos, que convirja uniformemente a f em [-pi, -a] ∪ [a, pi] Justifique.

Passo 1

Primeiro vamos pensar em uma função g ( x ) contínua, de classe C 2 por partes em [ - π ; π ] , tal que g - π = g ( π ) e que coincida com f   no intervalo   - π , - a ∪ a , π .

PERAE! Mas pra que essas condições??

Porque existe um Teorema que fala que, quando satisfeitas essas condições, podemos encontrar uma série de Fourier que convirja uniformemente à própria função g ( x ) no intervalo dado.

Em outras palavras a série:

a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ a n c o s ⁡ ( n x ) + ∑ n = 1 + ∞ b n s i n ⁡ ( n x ) → C o n v e r g e   e m   g ( x )

Ou seja,

a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ a n c o s ⁡ ( n x ) + ∑ n = 1 + ∞ b n s i n ⁡ ( n x ) = g ( x )

E g x deve ser tal, de forma que essa série convirja também para f ( x ) no intervalo   - π , - a ∪ a , π :

a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ a n c o s ⁡ ( n x ) + ∑ n = 1 + ∞ b n s i n ⁡ ( n x ) = f ( x )

Passo 2

Repare que, uma função g x = 1   c o m   - π ≤ x ≤ π resolve o problema.

Então lembrando, seja:

g x = a 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ a n cos ⁡ n x π l + ∑ n = 1 + ∞ b n sin ⁡ n x π l

Vamos encontrar cada coeficiente:

  1. a 0 = 1 l ∫ - l l g ( x ) d x

    a 0 = 1 π ∫ - π π 1   d x = 1 π   π - - π = 2

  2. a n = 1 l ∫ - l l g x cos ⁡ n π x l d x

    a n = 1 π   ∫ - π π 1 cos ⁡ n x d x = 1 π sin ⁡ n x n π - π

    Como n   inteiro e n ≥ 1 , então para qualquer n

    sin ⁡ - n π = - sin ⁡ n π = 0

    Portanto:

    a n = 0

    Passo 3

    Por último:

  3.  

b n = 1 l ∫ - l l g x sin ⁡ n π x l d x = 2 π ∫ 0 π 1 sin ⁡ n x d x

b n = 2 π ∫ 0 π 1 sin ⁡ n x d x

b n = 2 π - cos ⁡ n x n π 0

b n = - 2 n π cos ⁡ n π - cos ⁡ 0

Mas repare que como n ≥ 1 :

cos ⁡ n π = 1   q u a n d o   n   p a r cos ⁡ n π = - 1   q u a n d o   n   í m p a r

Ou seja,

b n = - 2 n π - 1 n - 1 = 2 n π 1 - - 1 n

Portanto uma série tomando g x = 1 ,  

g x = 1 + 2 π ∑ n = 1 + ∞ 1 - - 1 n n s i n ⁡ ( n x )

Perceba que como g ( x ) é contínua em [ - π ; π ] , então a série:

1 + 2 π ∑ n = 1 + ∞ 1 - - 1 n n s i n ⁡ ( n x ) → c o n v e r g e   p a r a   f ( x )

Quando - π ; - a ∪ [ a ; π ] .

Resposta

Concluímos então que g x = 1 com - π ≤ x ≤ - a   o u   a ≤ x ≤ π é uma função cuja série de Fourier converge para f x .

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