Considere a função

f ( x ) = {[[e^(- (1)/(x^2)),,,s,e,,x,!=,0],[0,,,s,e,,x,=,0]])

(b) Verifique que, para todo x != 0 ,

f (x) != f (0) + sum_(n = 1)^(oo) (f^((n)) (0))/(n !) x^n

Passo 1

Sabemos que um polinômio de Taylor possui a seguinte forma:

P (x) = f (x_0) + f^' (x_0) (x - x_0) + (f^(' ') (x_0))/(2 !) (x - x_0)^2 + ... + (f^n (x_0))/(n !) (x - x_0)^n

Sabemos também que, podemos denotar o seguinte:

P (x) = f (x_0) + sum_(n = 1)^(oo) (f^n (x_0))/(n !) (x - x_0)^n

Passo 2

Seja P ( x ) então a representação de f ( x ) po polinômios de Taylor:

f (x) = P (x) = f (x_0) + sum_(n = 1)^(oo) (f^n (x_0))/(n !) (x - x_0)^n

Quando adotamos x_0 = 0 :

f (x) = f (0) + sum_(n = 1)^(oo) (f^n (0))/(n !) x^n

Passo 3

Mas, temos que:

f^n (0) = 0 , p a r a t o d o n >= 1

Ou seja,

f (x) = f (0) + 0

E

f (x) = 0

Isso só ocorre para quando

x = 0

Portanto, para qualquer x != 0 não podemos usar a representação polinomial de Taylor.

Resposta

Mostramos que para x != 0 , é verdade que:

f (x) != f (0) + sum_(n = 1)^(oo) (f^((n)) (0))/(n !) x^n

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