Enunciado

Considere o problema de valor inicial

y ' = y 2 - t 2 ,   y 0 = α

em que α é um número dado.

  1. Desenhe um campo de direções para a equação diferencial. Observe que existe um valor critico de α no intervalo de 0 ≤ α ≤ 1 que separa as soluções convergentes das divergentes. Chame esse valor critico de α 0 .
  2. Use o método de Euler com h = 0,01 para estimar α 0 . Faça isto restringindo α 0 a um intervalo [a, b] em que b - a = 0,01

Passo 1

Para resolvermos esse problema, vamos usar o método de Euler, que consiste em um calculo numérico para as equações em que não temos um valor exato, onde o resultado se aproxima cada vez mais do exato de acordo com o passo usado para o calculo.

Passo 2

  1. Temos que o campo é divergente e muito parecido com a imagem a seguir
  2. Como dito no enunciado, nosso ponto critico fica entre 0 e 1, onde podemos observar que há uma certa divergência no campo.

    Passo 3

  3. Utilizando o método de Euler, temos que a equação usada é dada por

y n + 1 = y n + f n ⋅ h

y n + 1 = y n + y n 2 - t n 2 ⋅ h

Se testarmos alguns valores entre 0 e 1 , com a ajuda de um software, para o h dado, podemos ver que o valor de α para um t que varia de 0,01 será de aproximadamente α 0 ≈ 0 , 6815 . Para qualquer valor de y acima de α 0 as soluções começam a divergir.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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