Enunciado

O tanque cônico, mostrado na figura 1.26, derrama água por um orifício no fundo. Se a área da seção transversal do orifício é 1 4 m ² , encontre a equação diferencial que representa a altura da água h em relação ao tempo t . Ignore a força de atrito do orifício.

Passo 1

Bom, vamos lá, a gente tem um tanque no formato de um cone e tem água vazando por ele através de um orifício com área de 1 4 m ² , assim olha:

E aí conforme a água vai vazando, a altura h da água no tanque vai diminuindo, certo? E nós queremos justamente a equação diferencial que nos dá essa altura em relação ao tempo: queremos d h d t , então vamos lá.

Passo 2

Lá no exemplo 8 do seu livro, temos a equação 15 , que fala que a taxa com que o volume V de água no tanque decresce (desconsiderando o atrito) é:

d V d t = - A o 2 . g . h   ( I )

Onde A o é a área do orifício. Mas nós não queremos d V d t , queremos d h d t , certo?

Então vamos fazer umas manipulações

Passo 3

Dado que o volume de um cone é V = π . r 2 . h 3 , temos que o volume de água dentro do tanque no instante t pode ser dado por:

V t = π . r t 2 . h ( t ) 3

Sendo que tanto r ( t ) quanto h ( t ) decrescem com o tempo

Agora vamos pensar em dois triângulos retângulos: o primeiro com catetos r e h e o outro com catetos 8   m e 20   m . Por semelhança de triângulos na nossa figura, temos:

r h = 8 20

r = 8 h 20 = 2 h 5

Substituindo:

V t = π . 2 h 5 2 . h ( t ) 3

V t = π . 4 ( h t ) 2 25 . h ( t ) 3

V t = π . 4 ( h t ) 3 75

Derivando os dois lados em relação a t :

d V d t = d π . 4 ( h t ) 3 75 d t

Pela regra da cadeia, temos

d V d t = 4 π 75 . 3 . h t 2 d h d t     ( I I )

Então, temos uma nova expressão para d V d t , vamos substituir lá na expressão ( I )

Passo 4

Temos

d V d t = - A o 2 . g . h   ( I )

Susbtituindo ( I I ) em ( I ) :

4 π 75 . 3 . h t 2 d h d t = - A o 2 . g . h

d h d t = - A o 2 . g . h 4 π 75 . 3 . h 2

Belezinha meu povo, agora é só substituir os valores:

d h d t = - 1 4 2 . 10 . h 4 π 75 . 3 . h 2

d h d t = - 20 . h 4 4 π . 3 . h 2 75

Então:

d h d t = - 75 20 . h 48 . π . h 2

Resposta

d h d t = - 75 20 . h 48 . π . h 2

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