Enunciado

Considere o problema de valor inicial

4 y ' ' + 12 y ' + 9 y = 0 ,     y 0 = 1 ,               y ' 0 = - 4 .

(a) Resolva o problema de valor inicial e faça o gráfico de sua solução para 0 ≤ t ≤ 5.

(b) Determine onde a solução tem valor zero.

(c) Determine as coordenadas (t0, y0) do ponto de mínimo.

(d) Mude a segunda condição inicial para y′(0) = b e encontre a solução como função de b.

Depois encontre o valor crítico de b que separa as soluções que permanecem positivas das que

acabam se tornando negativas.

Passo 1

Olá...

Essa questão não é espelho, mas vamos dar uma refletida nela... rsrs. Brincadeiras à parte, o que a gente vai ter que fazer primeiro é encontrar a solução homogênea e descobrir as constantes, e nós temos as condições que são y 0 = 1 , e y ' 0 = - 4 .

Vamos transformar essa equação em uma equação do 2º grau. Então y ' ' passa a ser x 2 , y ' passa a ser x , e y é o termo independente.

4 x 2 + 12 x + 9 = 0

Sendo: a = 4 ,   b = 12 ,   c = 9 .

Então para encontrar o usamos a fórmula de Bhaskara.

Lembrando que:

  • Se o resultado do ∆ > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a equação característica vai ser:
  • y = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a equação característica vai ser:
  • y = C 1 e r t + C 2 t e r t

  • Se o resultado do ∆ < 0 , teremos duas raízes complexas, e a equação característica vai ser:

y = e α   t   ( C 1 cos ⁡ β t + C 2 sen ⁡ β t )

Com isso em mãos vamos substituir na fórmula de Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x = - 12 ± 12 2 - 4 . 4.9 2 . 4

x = - 12 ± 144 - 144 2.4

x = - 12 ± 0 8

x = - 12 ± 0 8

x ' = - 12 + 0 8 = - 3 2 ,     x ' ' = - 12 - 0 8 = - 3 2

Sendo raízes iguais, a solução geral será do tipo:

y = C 1 e r t + C 2 t e r t

y = C 1 e - 3 2   ∙ t + C 2 ∙ t ∙ e - 3 2   ∙ t

Passo 2

Vamos usar nossa arma secreta: através do valor inicial dado, vamos descobrir o valor das constantes. Seja:

y = C 1 e - 3 2   ∙ t + C 2 ∙ t ∙ e - 3 2   ∙ t

y 0 = 1

Vamos ter:

1 = C 1 e 0 + C 2 ∙ 0 ∙ e 0

C 1 = 1

E seja:

y ' = - 3 2   ∙ C 1 ∙ e - 3 2   ∙ t + C 2 ∙ e - 3 2   ∙ t - 3 2   ∙ C 2 ∙ t ∙ e - 3 2   ∙ t

y ' = - 3 2   ∙ e - 3 2   ∙ t + C 2 ∙ e - 3 2   ∙ t - 3 2   ∙ C 2 ∙ t ∙ e - 3 2   ∙ t

y ' 0 = - 4

Vamos ter:

- 4 = - 3 2   ∙ e 0 + C 2 ∙ e 0 - 3 2   ∙ C 2 ∙ 0 ∙ e 0

- 4 = - 3 2   + C 2

C 2 = - 5 2

A solução geral vai ser então:

y t = e - 3 2   ∙ t - 5 2 ∙ t ∙ e - 3 2   ∙ t

E o nosso gráfico:

Passo 3

A letra (b) pede pra dizer onde a solução tem valor zero. Como somos seres evoluídos e inteligentes, vamos utilizar o nosso gráfico pra ter essas informações sem precisar fazer conta. . O gráfico cruza o eixo x em t = 2 5 , que é igual a 0,4 , mas vamos deixar em fração que é como tá no livro.

Já a letra (c) pede pra determinar o gráfico no ponto mínimo. E pra otimizar nosso tempo de nosso vamos ver isso pelo gráfico. A solução tem ponto mínimo em 16 15 ,   - 5 3 e - 8 5 .

Passo 4

E a nossa letra (d) pede pra mudar a segunda condição inicial para y ' ( 0 )   =   b e encontrar a solução como função de b . Depois encontre o valor crítico de b que separa as soluções que permanecem positivas das que acabam se tornando negativas. Mudando a condição:

C 2 + 3 2 = b

C 2 = b + 3 2

y t = e - 3 2 t + b + 3 2 t e - 3 2 t

Com o segundo termo sendo dominante a solução depende do sinal dele, então o valor crítico é - 3 2 .

Resposta

  1. y t = e - 3 2 t - 5 2 t e - 3 2 t
  2. O gráfico cruza o eixo x em t = 2 5 .
  3. A solução tem ponto mínimo em 16 15 ,   - 5 3 e - 8 5 .
  4. y t = e - 3 2   ∙ t - 5 2 ∙ t ∙ e - 3 2   ∙ t , o valor crítico é - 3 2 .
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