Enunciado

Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

4 y ' ' + 12 y ' + 9 y = 0

Passo 1

Primeiramente, vamos transformar essa equação em uma equação do 2º grau. Então y ' ' passa a ser x 2 , y ' p a s s a a ser x , e y é o termo independente.

4 x 2 + 12 x + 9 = 0

Sendo: a = 4 ,   b = 12 ,   c = 9 .

Então para encontrar o usamos a fórmula de Bhaskara.

Importante!!!

  • Se o resultado do ∆ > 0 , teremos duas raízes reais diferentes, e a equação característica vai ser:
  • y = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ = 0 , teremos duas raízes reais iguais, e a equação característica vai ser:
  • y = C 1 e r 1 t + C 2 t e r 2 t

  • Se o resultado do ∆ < 0 , teremos duas raízes complexas, e a equação característica vai ser:

y = e α   t   ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sen ⁡ β x )

Com isso em mãos vamos substituir na fórmula de Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

x = - 12 ± 12 2 - 4 . 4.9 2 . 4

x = - 12 ± 144 - 144 2.4

x = - 12 ± 0 8

x = - 12 ± 0 8

x ' = - 12 + 0 8 = - 12 8 = - 3 2 ,     x ' ' = - 12 - 0 8 = - 12 8 = - 3 2

Passo 2

Como ∆ = 0 , a solução é:

y = C 1 e r 1 t + C 2 t e r 2 t

Substituindo os valores das raízes:

y = C 1 e - 3 2 t + C 2 t e - 3 2 t

Resposta

Então encontramos a resposta.

y = C 1 e - 3 2 t + C 2 t e - 3 2 t

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