Enunciado

Considere o problema de valor inicial

y ' ' + y = f ( t ) ,   y ( 0 ) = 0 ,   y ' ( 0 ) = 0

em que

f ( t ) = u 0 ( t ) + 2 ∑ k = 1 n ( - 1 ) k u k π ( t ) .

  1. Desenhe o gráfico de f(t) em um intervalo como 0 ≤ t ≤ 6π.
  2. Encontre a solução do problema de valor inicial.
  3. Seja n = 15 e desenhe o gráfico da solução para 0 ≤ t ≤ 60. Descreva a solução e explique por que ela se comporta dessa maneira.
  4. Investigue como a solução varia quando n aumenta. O que acontece quando n → ?

Passo 1

No intervalo 0 ≤ t ≤ 6π, u k π ( t ) é diferente de zero se k

f ( t ) = u 0 ( t ) + 2 ∑ k = 1 5 ( - 1 ) k u k π ( t )

Passo 2

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   =   ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t )   d t

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

ℒ { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { y ' ' + y } = ℒ { u 0 ( t ) + 2 ∑ k = 1 n ( - 1 ) k u k π ( t ) }

ℒ { y ' ' } + ℒ { y } = ℒ { u 0 ( t ) } + 2 ℒ { ∑ k = 1 n ( - 1 ) k u k π ( t ) }

[ s ² Y ( s ) - s y ( 0 ) - y ' ( 0 ) ] + Y ( s ) = ∫ 0 ∞ e - s t u 0 ( t ) d t   + 2 ∑ k = 1 n ( - 1 ) k ∫ 0 ∞ e - s t u k π ( t ) d t

Passo 3

Aplique as condições iniciais, y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 0 .

( s ² + 1 ) Y ( s ) = 1 s + 2 ∑ k = 1 n ( - 1 ) k ( e - k π s s )

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

Y ( s ) = ( 1 s - s s ² + 1 ) + 2 ∑ k = 1 n ( - 1 ) k ( 1 s - s s 2 + 1 ) e - k π s

Passo 4

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa!

y ( t ) = ℒ - 1 { Y ( s ) } = ℒ - 1 { ( 1 s - s s ² + 1 ) + 2 ∑ k = 1 n ( - 1 ) k ( 1 s - s s 2 + 1 ) e - k π s }

Chegando em:

y ( t ) = 1 - c o s ( t )   -   2 ∑ k = 1 n ( - 1 ) k [ 1 - c o s ( t - k π ) ] u k π ( t )

Passo 5

Na letra c:

Os gráficos de y (t) versus t são mostrados abaixo para n = 1, n = 2, n = 5, n = 10 e n = 15.

Passo 6

Na letra d:

O valor de n determina o número de sulcos à medida que o gráfico aumenta. O gráfico oscila com uma amplitude de 1 e um período de 2 π sobre o valor y = 2 n + 1 . Se n → ∞ , o gráfico cresce a uma taxa linear para sempre.

Resposta

  1. y ( t ) = 1 - c o s ( t )   -   2 ∑ k = 1 n ( - 1 ) k [ 1 - c o s ( t - k π ) ] u k π ( t )
  2. O valor de n determina o número de sulcos à medida que o gráfico aumenta. O gráfico oscila com uma amplitude de 1 e um período de 2 π sobre o valor y = 2 n + 1 . Se n → ∞ , o gráfico cresce a uma taxa linear para sempre.
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