1.

Calcule a transformada de Laplace da função:

f t = e - 10 t t

Sabendo que L t = π / 2 s 3 / 2   , s > 0 .

Sugestão: 1 t = 2 d d t t .

Resolução
2.

Dado que

F s = 2 s 2 ( s 2 + 4 )

é a transformada de Laplace de f ( f = L - 1 [ F ] ), calcule L [ f ' ] e L [ f ' ' ] , sendo f 0 = 3 e f ' 0 = - 1 .

Resolução
3.

Seja g uma função seccionalmente contínua definida sobre [ 0 , + ∞ ) cuja derivada é seccionalmente contínua e de ordem exponencial. Se, além disso, g 0 = 1 e L g t s = a r c t a n ⁡ ( s ) , calcule L [ e 2 t g ' t ] ( s ) .

Resolução
4.

Achar a função f : 0 , + ∞ → R com f 0 = 1 que satisfaz a seguinte equação:

f ' t - ∫ 0 t cos ⁡ τ f t - τ d τ = 1           ∀ t ≥ 0

Resolução
5.

( b ) Dado que

F s = 2 s 2 ( s 2 + 4 )

é a transformada de Laplace de f ( f = L - 1 [ F ] ), calcule L [ f ' ] e L [ f ' ' ] , sendo f 0 = 3 e f ' 0 = - 1 .

Resolução
6.

Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução y ( t ) do seguinte sistema de equações:

x ' t + 2 y ' t - 2 y t = t x t + y ' t - y t = 1

Com condições iniciais x 0 = y 0 = 0 .

Resolução
7.

Resolva o seguinte problema de valor inicial por Transformada de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Lalace sendo utilizada em cada passo.

y ' ' + 9 y = cos ⁡ 3 t +   δ t - 3 π

y 0 = 0

y ' 0 = 3

Resolução
8.

Resolva por Transformada de Laplace o seguinte problema de valor inicial, justificando todas as propriedades da tabela de Transformada de Laplace usadas.

y ' ' + 4 y = ∫ 0 t t - τ e τ d τ

Onde y 0 = 0 e y ' 0 = 0

Resolução
9.

Resolva o seguinte problema de valor inicial por Transformada de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Lalace sendo utilizada em cada passo.

y ' ' + 4 y ' + 4 y = sen ⁡ t   δ t - π 2

y 0 = 1

y ' 0 = 2

Resolução
10.

Resolva o seguinte problema de valor inicial por Transformada de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Lalace sendo utilizada em cada passo.

y ' ' + 2 y ' + 2 y = 2 δ t - 2 + 5 e t

y 0 = 1

y ' 0 = 0

Resolução
11.

Seja g uma função seccionalmente contínua definida sobre [ 0 , + ∞ ) cuja derivada é seccionalmente contínua e de ordem exponencial. Se além disso g 0 = 1 e L g t s = a r c t a n ⁡ ( s ) , calcular L [ e 2 t g ' t ] ( s ) .

Resolução
12.

Indique a única resposta correta como solução da equação diferencial homogênea de segunda ordem:

3 y ' ' + 2 y = 0

( ) c 1 cos ⁡ 5 3 x + c 2 sen ⁡ 5 3 x

( ) c 1 cos ⁡ ( 2 x ) + c 2 sen ⁡ ( 2 x )

( ) c 1 cos ⁡ 1 3 x + c 2 sen ⁡ 1 3 x

( ) s - 1 s 2 - 2 s + 2

( ) s + 1 s 2 - 2 s + 2

Resolução
13.

Utilize a transformada de Laplace para determinar a solução do seguinte problema de valor inicial

y ' ' - 2 y ' + 3 y = u 1 ( t ) e t - 1

y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0 ,

Onde   u 1 t é a função degrau unitário com descontinuidade em 1

Resolução
14.

( a ) Calcule a transformada de Laplace da função

f t = e - 10 t t

sabendo que L t = π / 2 s 3 / 2   , s > 0 .

Sugestão: 1 t = 2 d d t t .

Resolução

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