Enunciado

Considere o problema.

Mostre que, se φm e φn são autofunções associadas aos autovalores λm e λn, respectivamente, com λm ≠ λn, então

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nessa questão, temos uma equação diferencial e precisamos aplicar os valores de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar o formato da solução de função.

ϕ m ' ' + λ m ϕ m = 0

ϕ n ' ' + λ n ϕ n = 0

ϕ n ϕ m ' ' + λ m ϕ m ϕ n = 0

ϕ m ϕ n ' ' + λ n ϕ n ϕ m = 0

∫ d x ϕ n d d x ϕ m ' + λ m ∫ ϕ m ϕ n d x = 0

∫ d x ϕ m d d x ϕ n ' + λ n c = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

- ∫ ϕ m ' d ϕ n + λ m ∫ d x ϕ n d d x ϕ m ' = 0

∫ - ϕ m ' d ϕ n + ϕ n ' d ϕ m = 0

∫ ϕ m x ϕ n x d x = 0

Resposta

∫ ϕ m x ϕ n x d x = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que todos os autovalores são reais.Determine se λ = 0 é um autovalor.
Suponha que todos os autovalores são reais.Determine se λ = 0 é um autovalor.
Suponha que todos os autovalores são reais.Encontre valores aproximados para λ1 e λ2, os dois autovalores não nulos de menor módulo.
Suponha que todos os autovalores são reais.Estime λn para valores grandes de n.
Suponha que todos os autovalores são reais.Determine a forma das autofunções e a equação satisfeita pelos autovalores não nulos.