Enunciado

Considere a série ∑ n = 1 ∞ n n + 1 !  

a) Encontre as somas parciais s 1 , s 2 , s 3   e   s 4 . Você reconhece os denominadores? Use o padrão para conjecturar uma fórmula para s n .

b) Use indução matemática para demonstrar sua conjectura.

c) Mostre que a série infinita dada é convergente e calcule sua soma.

Passo 1

Galerinha, aqui estamos trabalhando com a seguinte série:

∑ n = 1 ∞ n n + 1 !

No item a, queremos as somas dos primeiros termos da série, pra depois a gente tentar deduzir a soma de n termos. Basicamente vamos substituir os valores n = 1,2 , 3,4 … e ver o que acontece.

Para demonstrarmos a conjectura de s n temos que seguir os seguintes passos:

  • 1° Provar que para que a base de indução, isto é, n = 1 , é verdadeira;
  • 2° Por hipótese de indução temos que P ( k + 1 ) é verdadeiro, então é necessário provar que P ( k ) também é verdadeiro;
  • 3° Por fim, provando que a indução está correta, concluímos que P ( n ) é verdadeiro para qualquer número n natural.

No item c, a soma da série infinita pode ser calculada aplicando o limite com n → ∞ para a sequência em questão:

lim n → ∞ ⁡ s n = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 !

Passo 2

Então galera, de início vamos calcular as somas parciais, tudo bem? Temos o seguinte:

∑ n = 1 ∞ n n + 1 !

Substituindo os valores n = 1,2 , 3,4 …

s 1 = 1 1 + 1 ! = 1 2

s 2 = s 1 + 2 2 + 1 ! = 1 2 + 2 6 = 5 6

s 3 = s 2 + 3 3 + 1 ! = 5 6 + 3 24 = 23 24

s 4 = s 3 + 4 4 + 1 ! = 23 24 + 4 120 = 119 120

Pelos resultados conseguimos notar que o denominador tem o formato de n + 1 !

Eu sei que isso pode parecer estranho e difícil de perceber. Mas aí temos que treinar o olho mesmo. É bem comum aparecerem fatoriais, então vale a pena decorar isso aí.

Se o denominador é sempre uma unidade maior do que o numerador, então você deve concordar comigo que podemos representar o numerador da seguinte forma:

n + 1 ! - 1

Que equivale ao que acabamos de concluir, não é mesmo? Sendo assim, uma conjectura para s n será:

s n = n + 1 ! - 1 n + 1 !

Passo 3

b) Para demonstrarmos a conjectura de s n , vamos seguir aqueles passos que falamos lá no passo 1:

Para n = 1 , temos:

s n = 1 + 1 ! - 1 1 + 1 ! = 1 2 = s 1

Tomando que P ( k + 1 ) é verdadeiro, então n = k + 1 , logo:

s k = k + 1 ! - 1 k + 1 !

Para n , temos:

s k + 1 = k + 1 ! - 1 k + 1 ! + k + 1 ! - 1 k + 2 !

s k + 1 = k + 1 ! - 1 k + 1 ! + k + 1 ! - 1 k + 1 ! ( k + 2 )

s k + 1 = k + 2 ! - k + 2 + k + 1 k + 2 ! = k + 2 ! - 1 k + 2 !

Sendo assim, fica provado que para n = k + 1 a fórmula é válida e verdadeira. Portanto, a indução está correta.

Passo 4

c) A soma da série infinita pode ser calculada aplicando o limite com n → ∞ para a sequência em questão. Se fizermos isso, teremos:

lim n → ∞ ⁡ s n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! - 1 n + 1 !

lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n + 1 ! = l i m n → ∞ 1 - l i m n → ∞ 1 n + 1 !

Para o segundo limite, se dividirmos tudo por n , teremos:

l i m n → ∞ 1 n n n + 1 n ! = 0 1 + 0 = 0

Aqui vale ressaltar que l i m n → ∞ 1 n = 0 , tudo bem? Sendo assim, nosso resultado será:

lim n → ∞ ⁡ s n = 1 + 0 = 1

∴ ∑ n = 1 ∞ n n + 1 ! = 1

Resposta

a) s 1 = 1 2 , s 2 = 5 6 , s 3 = 23 24 e s 4 = 119 120

s n = n + 1 ! - 1 n + 1 !

c) ∑ n = 1 ∞ n n + 1 ! = 1

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