Enunciado

Depois da injeção de uma dose D de insulina, a concetração de insulina no sistema do paciente decai exponencialmente e por isso pode ser escrito como D e - a t , onde t representa o tempo em horas e a é uma constante positiva.

a) Se uma dose D é injetada a cada T horas, escreva uma expressão para a soma das concentrações residuais pouco antes da n + 1 -ésima injeção.

b) Determine o limite de concetração pré-injeção.

c) Se a concentração de insulina deve ser sempre igual ou superior a um valor crítico C , determine uma dose mínima D em termos de C , a e T .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? O problema começa nos dizendo que após uma certa dose se insulina, a concentração desse composto no corpo decai exponencialmente

D e - a t

Onde D é a quantidade inicial e a é a constante de decaimento. O problema então pede para achar a soma das concentrações residuais após a n + 1 - é s i m a injeção. Então aqui a ideia é ir achando os termos sucessivos e ir somando, para ver se encontramos algum padrão!

E encontrando esse padrão, podemos resolver os dois próximos itens! Mas relaxa, vou fazer com você!

Passo 2

a) Então galera, a concentração de insulina no sistema do paciente imediatamente antes da segunda injeção pode ser expressa como:

D e - a T

Assim como o enunciado nos disse! Seguindo nessa lógica, imediatamente antes da terceira injeção teremos:

D e - a T + D e - 2 a T

Imediatamente antes da quarta injeção teremos:

D e - a T + D e - 2 a T + D e - 3 a T

E imediatamente antes da ( n + 1 ) -ésima injeção, teremos:

D e - a T + D e - 2 a T + D e - 3 a T + … + D e - a n + 1 - 1 T

D e - a T + D e - 2 a T + D e - 3 a T + … + D e - a n T

Aqui conseguimos notar que se trata de uma série geométrica, galera! Para estabelecermos a sequência dessa série devemos utilizar a relação:

s n = a ( 1 - r n ) 1 - r

No qual a é o primeiro termo da sequência e r é a razão comum. No nosso caso, a = D e - a T e r = e - a T , logo:

s n = D e - a T ( 1 - D e - a n T ) 1 - e - a T

Passo 3

b) Para determinarmos o limite de concentração pré-injeção, vamos imaginar um n → ∞ , tudo bem? Sendo assim, teremos o seguinte:

lim n → ∞ ⁡ s n = lim n → ∞ ⁡ D e - a T 1 - D e - a n T 1 - e - a T

Reescrevendo o limite de outra forma:

lim n → ∞ ⁡ D e - a T 1 - D e a n T 1 - e - a T

Aplicando o limite de fato, obteremos:

D e - a T 1 - 0 1 - e - a T = D e - a T 1 - e - a T

Beleza? Bora pro último termo?

Passo 4

c) De acordo com o enunciado temos o seguinte:

D e - a T 1 - e - a T ≥ C

Isolando D , teremos:

D ≥ C 1 - e - a T e - a T ∴ D ≥ C ( e a T - 1 )

Sendo assim, para uma dose mínima:

D = C ( e a T - 1 )

Que é um resultado que faz sentido, não é mesmo? Já que D só pode ser maior ou igual àquilo que demonstramos, então o mínimo seria utilizando o sinal de igualdade.

Espero ter ajudado!

Resposta

a) s n = D e - a T ( 1 - D e - a n T ) 1 - e - a T

b) D e - a T 1 - e - a T

c) D = C ( e a T - 1 )

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