Enunciado

18 - Considere o sistema x ' = A x e suponha que A tem um autovalor nulo.

(a) Mostre que d e t A = 0 .

(b) Mostre que x = 0 é um ponto crítico e que, além disso, todo ponto pertencente a

determinada reta contendo a origem também é um ponto crítico.

(c) Sejam   r 1 = 0   e   r 2 ≠ 0 , e sejam ξ ( 1 ) e ξ ( 2 ) os autovetores associados. Mostre que as trajetórias

são como as indicadas na Figura 9.1.8. Qual é o sentido do movimento nas trajetórias?

Passo 1

Considere o seguinte sistema:

x ' = A x

Aqui,  A tem um valor próprio zero.

Um ponto  x = 0 é considerado um ponto crítico se,  x ' = 0 .

Um vetor x diferente de zero é considerado um autovalor de  A se  A x = λ x .

Um ponto crítico é um ponto x tal que  x ' = 0 .

Isso implica que pontos críticos satisfazem  A x = 0 .

Note que  x = 0 é um ponto crítico, porque A 0 = 0

Observe que  A tem um valor próprio zero, existe um vetor próprio diferente de zero ξ A  que

A ξ A = 0 ξ A = 0

Então,  ξ A também é um ponto crítico.

Além disso, cada ponto que está na linha que passa pela origem, portanto, também é um ponto crítico, porque A c ξ A = c A ξ A = 0 .

Portanto det(A)=0.

Passo 2

b) Vamos  r 1 = 0 r ≠ 0 , e suponha  r 1 r 2 são valores próprios de  A   com autovetores correspondentes ξ ( 1 ) e ξ ( 2 ) .

A solução geral de  x ' = A x é,

x = c 1 ξ ( 1 ) e r 1 t + c 2 ξ ( 2 ) e r 2 t

Assim, à medida que t aumenta, a solução se move na direção c 2 ξ ( 2 ) , a partir do seu ponto inicial. Portanto, as trajetórias são linhas paralelas a   ξ ( 2 ) .

O sinal de  c 2 determina a direção do movimento.

Passo 3

c)

De acordo com os dados, os valores próprios são  r 1 = 0 , r 2 ≠ 0 .

Aqui, os autovetores correspondentes são ξ ( 1 ) e ξ ( 2 ) .

Portanto, a solução geral deste sistema é,

x = c 1 ξ ( 1 ) e r 1 t + c 2 ξ ( 2 ) e r 2 t

= c 1 ξ ( 1 ) e 0 t + c 2 ξ ( 2 ) e r 2 t

= c 1 ξ ( 1 ) + c 2 ξ ( 2 ) e r 2 t

À medida que  t aumenta, a solução se move na direção de c 2 ξ ( 2 ) desde o ponto inicial.

Portanto, as trajetórias são as linhas paralelas a ξ ( 2 ) e dependem do sinal de  c 2 .

Quando c 2 < 0 , a direção do movimento é  - ξ ( 2 ) c 2 > 0 , a direção do movimento é  ξ ( 2 ) .

Resposta

a)Veja a solução.

b) x = c 1 ξ ( 1 ) e r 1 t + c 2 ξ ( 2 ) e r 2 t

Assim, à medida que t aumenta, a solução se move na direção c 2 ξ ( 2 ) , a partir do seu ponto inicial. Portanto, as trajetórias são linhas paralelas a   ξ ( 2 ) .

O sinal de  c 2 determina a direção do movimento.

c) À medida que  t aumenta, a solução se move na direção de c 2 ξ ( 2 ) desde o ponto inicial.

Portanto, as trajetórias são as linhas paralelas a ξ ( 2 ) e dependem do sinal de  c 2 .

Quando c 2 < 0 , a direção do movimento é  - ξ ( 2 ) c 2 > 0 , a direção do movimento é  ξ ( 2 ) .

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