Enunciado

37. Encontre γ, de modo que a solução do problema de valor inicial

x 2 y ″ –   2 y   =   0

  y 1 =   1

y ' ( 1 )   = γ  

permaneça limitada quando x → 0

Passo 1

Oii vamos começar mais uma solução. Essa função tem o seguinte formato

P x y " + Q ( x ) y ' + R ( x ) y   =   0

Beleza!!! O que faremos agora é supor que a solução do nosso problema é

y = x r

E com isso substituir na nossa equação

y ' = r x r - 1

y "   =   r ( r - 1 ) x r - 2    

Passo 2

Vamos jogar dentro da nossa equação e ver o resultado disso

x 2 y ″ –   2 y   =   0

x 2 r ( r - 1 ) x r - 2 - 2 x r = 0

A sagacidade está em perceber que nossa função y " está sendo multiplicada por x 2 , logo podemos ajustar os expoentes e deixar tudo com a seguinte cara

r ( r - 1 ) x r - 2 x r = 0

x r r r - 1 - 2 = 0

Logo ou nossa função x r = 0 e assim temos a solução trivial, ou temos a seguinte equação solução

r r - 1 - 2 = 0

r 2 - r - 2 = 0

Fazendo produtos notáveis podemos dizer que essa equação é

r - 2 r + 1 = 0

Passo 3

Nossa solução tem o seguinte formato

y = c 1 x r 1 + c 2 x r 2  

Vamos usar os dados que descobrimos ate agora

y = c 1 x 2 + c 2 x - 1  

SHOW! Conseguimos encontrar a solução geral. Agora temos dados de contorno. Podemos descobrir as constantes do nosso sistema

y 1 =   1

y ' ( 1 )   = γ  

Vamos usar o primeiro dado

y = c 1 x 2 + c 2 x - 1  

1 = c 1 + c 2  

Agora vamos precisar usar o segundo dado

y = c 1 x 2 + c 2 x - 1  

y ' = c 1 2 x - c 2 x - 2  

γ = 2 c 1 - c 2

Vamos manipular nosso sistema para que a solução da nossa equação fique em função de γ

1 = c 1 + c 2 → c 2 = 1 - c 1  

Vamos substituir isso na função com γ

γ = 2 c 1 - c 2

γ = 2 c 1 - 1 - c 1  

c 1 = γ + 1 3  

Vamos usar isso agora para descobrir c 2 γ

1 = c 1 + c 2  

1 = γ + 1 3 + c 2  

c 2 = 2 - γ 3

Então nossa solução geral é

y = γ + 1 3 x 2 + 2 - γ 3 x - 1

Passo 4

O enunciado diz que quer que a solução permaneça limitada quando x → 0 , ou seja, esse limite não pode explodir para infinito, assim temos que :

lim x → 0 ⁡ γ + 1 3 x 2 + 2 - γ 3 x - 1 ≠ 0

A parte 2 - γ 3 x - 1 vai explodir para infinito se x → 0 , logo esse termo tem que morrer. E isso só vai acontecer se a constante que o multiplica for nula :

2 - γ 3 = 0

γ = 2  

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

γ = 2  

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