Enunciado

Se g ( t ) = d , uma constante, mostre que toda solução da E q .   ( i ) tende a d / c quando t → ∞ .   O que acontece se c   =   0 ?

Passo 1

Nós reescrevemos as equações como:

a y - d c ' ' + b y - d c ' + c y - d c = 0

uma vez que a primeira e a segunda derivada de uma constante são iguais a zero. Se substituirmos y 1 por y - d c , obtemos:

a y 1 ' ' + b y 1 ' + c y 1 = 0

Para constantes positivas a , b e c do problema 37 da seção 3.4, nós temos:

0 = lim t → ∞ ⁡ y 1 = lim t → ∞ ⁡ y - d c = lim t → ∞ ⁡ y - d c

Ficamos com:

lim t → ∞ ⁡ y = d c

Se c = 0 , a equação é:

a y ' ' + b y ' = d

E do Problema 38. b) da seção 3.4, sabemos que sua solução complementar é:

y c = c 1 + c 2 e - b t / a

Um candidato para a solução específica é Y ( t ) = D , onde D é uma constante, mas como já existe uma constante na solução complementar, multiplicamos D por te atribuímos esse produto a Y , ou Y ( t ) = D t . Substituindo esta expressão na equação inicial, obtemos:

a Y ' ' + b Y ' = d

b D = d

D = d b

Assim, a solução completa é:

y c = c 1 + c 2 e - b t / a + d t b

Como a e b são positivos, o limite é:

lim t → ∞ ⁡ y = lim t → ∞ ⁡ c 1 + c 2 e - b t / a + d t b = c 1 + lim t → ∞ ⁡ d t b

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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