Enunciado

Se Y 1 ( t ) e Y 2 ( t ) são soluções da E q .   ( i ) , mostre que   Y 1 ( t )   –   Y 2 ( t )   →   0 quando t   →   ∞ . Este resultado é verdadeiro se b   =   0 ?

Passo 1

Y 1 ( t ) e Y 2 ( t ) são soluções da Eq. (Não) linear não-homogênea; portanto, existem duas soluções complementares Y c 1 ( t ) e Y c 2 ( t ) uma solução específica Y ( t ) da Eq (i), de modo que:

Y 1 ( t )   = y c 1 ( t )     +   Y   ( t )

Y 2 ( t )   = y c 2 ( t )     +   Y   ( t )

A diferença deles é então:

Y 1 t - Y 2 t = y c 1 t + Y t - y c 2 t - Y t = y c 1 t - y c 2 t

Do Teorema 3.2.2, sabemos que y c 1 t - y c 2 ( t ) é igual a outra solução complementar da E q .   ( i ) y c 3 ( t ) . Usando o Problema 37 da seção 3.4, temos:

lim t → ∞ ⁡ Y 1 t - Y 2 t = l i m t → ∞ y c 1 t - y c 2 ( t ) = l i m t → ∞ y c 3 t = 0

Se b   =   0 , do problema 38, a) temos que Y 1 t - Y 2 t = y c 3 t é limitado quando   t → ∞ , mas não é igual a 0.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Neste problema vamos determinar condições sobre p e q de modo que a Eq. (i) possa ser transformada em uma equação com coeficientes constantes através de uma mudança de variável independente. Seja x=u(
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Tente transformar a equação dada em uma com coeficientes constantes pelo método do Problema 43. Se isso for possível, encontre a solução geral da equação dada.
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Encontre a solução geral da equação diferencial dada.