Enunciado

(Continuação do Exercício 7.)

  1. Utilize o método do Exercício 7 para encontrar N para a curva r(t) = ti + (1/3)t^3j quando t 0.
  2. Calcule N para t ≠ 0 diretamente de T utilizando a Equação 4 para a curva no item (a). N existe em t = 0? Desenhe a curva e explique o que está acontecendo a N conforme t passa de valores negativos para positivos.

Passo 1

Fala minha galera querida!! Vamos relembrar o método do n que aprendemos no exercício 7 e bora, recomendo rever o enunciado caso não se lembre.

  1. Primeiro vamos encontrar o parâmetro,
  2. v = d r d t = d d t t i + 1 3 t 3 j

    v = i + t 2 j

    Utilizando - n = g ' ( x ) - f ' ( x ) para t > 0

    - n = - t 2 i + j

    n = 1 + t 4

    N = n | n |

    N = 1 1 + t 4 ( - t 2 i + j )

    Então, quando t n t = - g ' x + f ' ( x )

    n = t 2 i - j

    N = 1 1 + t 4 t 2 i - j

    Passo 2

  3. Vamos calcular N agora no seguinte formato,

N = d T d t d T d t

Já temos modulo de v do exercício anterior, então só achar T

T = v v

T = i + t 2 j 1 + t 4

d T d t = d d t i 1 + t 4 + t 2 1 + t 4 j

d T d t = - 2 t 3 1 + 4 t 4 3 2 i + 2 t 1 + 4 t 4 3 2 j

Vamos achar o modulo

d T d t = - 2 t 3 1 + 4 t 4 3 2 2 + 2 t 1 + 4 t 4 3 2 2

d T d t = 2 t 1 + t 4

Temos tudo, só achar N agora.

N = - 2 t 3 1 + 4 t 4 3 2 i + 2 t 1 + 4 t 4 3 2 j 2 t 1 + t 4

N = - t 3 t 1 + t 4 i + t t 1 + t 4 j

Portanto, N não existe em t = 0, pois não se pode dividir nada por 0

Passo 2

Bora desenhar a curva, y = 1 3 x 3 no Geogebra, essa é a curva representada pela função vetorial, x = t e y = 1 3 t 3 .

Concluímos, então, que a curva possui concavidade para baixo, se x for menor do que 0, e concavidade para cima se x for maior do que 0.

Bora pro próximo.

Resposta

  1. Para t N = 1 1 + t 4 t 2 i - j e para t > 0 N = 1 1 + t 4 - t 2 i + j
  2. N = - t 3 t 1 + t 4 i + t t 1 + t 4 j , a curva muda sua concavidade quando t passa de negativo para positivo.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a derivada da função vetorial.r (t) = (1)/(1 + t) i + (t)/(1 + t) j + (t^2)/(1 + t) k
Prove:b ) underset(X - P)(lim) F (X) = L harr underset(X - P)(lim) ||F (X) - L|| = 0 .
Prove:underset(X - P)(lim) F (X) = vec 0 harr underset(X - P)(lim) ||F (X)|| = vec 0 . (vec 0 é o v e t o r n u l o d e R^m) é
Prove:c ) underset(H - vec 0)(lim) F (P + H) = L harr underset(X - P)(lim) F (X) = L .
O que podemos dizer sobre a torção de uma curva plana suave r t = f t i + g t j ? Justifique sua resposta.