Enunciado

Determine a derivada da função vetorial.

r t = 1 1 + t i + t 1 + t j + t 2 1 + t k

Passo 1

Oie, meu brother. Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Aqui a gente precisa encontrar a derivada da função vetorial:

r t = 1 1 + t i + t 1 + t j + t 2 1 + t k

E a gente faz isso derivando cada coordenada. No nosso caso, teremos que aplicar a regra do quociente para realizar essa derivação:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Passo 2

Derivada da coordenada i :

Para esta derivada vamos utilizar a regra do quociente.

f g ' = f ' g - f g ' g 2

d d t 1 1 + t = 0 - 1 1 + t 2

Derivada da coordenada j :

Para esta derivada também vamos utilizar a regra do quociente.

f g ' = f ' g - f g ' g 2

d d t t 1 + t = 1 + t - t 1 + t 2

Derivada da coordenada k :

Por fim aqui também utilizaremos a regra do quociente.

f g ' = f ' g - f g ' g 2

d d t t ² 1 + t = 1 + t ∙ 2 t - t ² 1 + t 2

Passo 3

Então podemos escrever:

r ' t = 0 - 1 1 + t 2 i + 1 + t - t 1 + t 2 j + 1 + t ⋅ 2 t - t 2 1 + t 2 k

r ' t = - 1 1 + t 2 i + 1 1 + t 2 j + t 2 + 2 t 1 + t 2 k

Resposta

A derivada de r é:

r ' t = - 1 1 + t 2 i + 1 1 + t 2 j + t 2 + 2 t 1 + t 2 k

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