Enunciado

O contorno da Lagoa Circular é um círculo com diâmetro de 2   k m . A rotina de treinamento de Camila começa num ponto E do lado leste da lagoa. Ela corre ao longo da margem pelo norte até um ponto P a partir do qual ela nada em linha reta a distância (se houver) de P até o ponto W diametralmente oposto a E . (Figura Ex-57). Se Camila correr 8 k m / h   e nadar a 2 k m / h , qual a distância que ela deveria correr para terminar esse percurso:

a) no menor tempo possível?

b) no maior tempo possível?

Passo 1

a) Então pessoal, antes de iniciarmos os cálculos vamos esboçar aqui a rota realizada por Camila, tudo bem? De acordo com o que o enunciado nos diz, temos o seguinte:

Mas de onde sai esse ângulo 2 θ ? Chamamos de θ o ângulo ∠ P W E , certo? De acordo com a equação do arco da circunferência, temos:

θ = E P - 2

E P - = 2 θ

Sendo assim, temos que o ângulo ∠ P C E será:

E P - 1 = α

Substituindo o resultado:

α = 2 θ

É daí que aparece o ângulo, tudo bem? Show!

Passo 2

Assim como discutido no passo anterior, temos que a Camila corre E P - e nada P W - . Como E P - = 2 θ , o que seria P W - ? Do triângulo retângulo desenhado conseguimos tirar que:

P W - = 2 cos ⁡ θ

Encontramos as distâncias que a Camila percorre em função do ângulo θ . De acordo com o que estudamos em cinemática, a velocidade média de uma partícula ou um corpo é dada da seguinte forma:

v = ∆ S ∆ t

Temos as informações sobre a velocidade e sobre a distância percorrida por Camila nos dois trajetos (na corrida e na natação), logo, para a corrida teremos:

t 1 = ∆ S 1 v 1

Substituindo os valores que temos:

t 1 = 2 θ 8 = θ 4

E para a natação teremos:

t 2 = ∆ S 2 v 2

Substituindo os valores que temos:

t 2 = 2 cos ⁡ θ 2 = cos ⁡ θ

Então o tempo total será:

t = t 1 + t 2

t θ = θ 4 + cos ⁡ θ

Vale ressaltar que v 1 e v 2 foram dados pelo enunciado, tudo bem? Então bora continuar esse trem!

Passo 3

Agora que encontramos uma expressão que define o tempo que Camila levará para terminar o trajeto, podemos determinar a distância que ela deveria correr para terminar esse percurso no menor tempo possível! Para fazermos isso basta utilizarmos os conceitos de máximos e mínimos que aprendemos! Derivando nossa função:

t ' θ = 1 4 - s e n   θ

Aqui vale ressaltar que nosso intervalo é 0 , π 2 , pois é a validade da decomposição que fizemos no passo 2 . Igualando nossa derivada a zero:

1 4 - s e n   θ = 0

s e n   θ = 1 4

Logo:

θ = a r c   s e n   1 4

Agora que encontramos nosso ponto crítico, vamos substituir esse ponto e os pontos do nosso intervalo na nossa função original para ver quando o tempo é mínimo!

t 0 = 0 + cos ⁡ 0 = 1   h

t a r c   s e n   1 4 = 1 4 a r c   s e n   1 4 + cos ⁡ a r c   s e n   1 4 ≈ 1,0314   h

t π 2 = π 8 + 0 ≈ 0,3927   h

Logo, podemos notar que o menor tempo ocorre quando θ = π 2 , então a distância que minimiza será:

E P - = 2 π 2 = π   k m

Ou seja, quando Camila vai direto de E para W , o que faz sentido, não é mesmo? 😊

Passo 4

b) De acordo com o que encontramos no passo 3, o maior tempo ocorre quando θ = a r c   s e n   1 4 , então a distância que maximiza será:

E P - = 2 . a r c   s e n   1 4 ≈ 0,5054   k m

E está aí nossa resolução, galera!

Resposta

a) Distância que minimiza o tempo: π   k m ;

b) Distância que maximiza o tempo: 0,5054   k m .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

6. a) Mostre que f x = 1 - x 5 e g x = 3 x 4 - 8 x 3 têm pontos estacionários em x = 0 .b) O que o teste da derivada segunda diz sobre a natureza desses pontos estacionários?c) O que o teste da deriva
2. Em cada parte, esboce o gráfico de uma função contínua com as propriedades indicadas, onde I = - ∞ ,+ ∞ .b) f tem exatamente dois extremos relativos em I e f x → 0 quando x → + ∞ e x → - ∞ .
7-14. Localize todos os pontos críticos e identifique quais deles são pontos estacionários.8. f x = 3 x 4 + 12 x
7-14. Localize todos os pontos críticos e identifique quais deles são pontos estacionários.10. f x = x 2 x 3 + 8
3. b) Use os testes da derivada primeira e da derivada segunda para mostrar que f x = x 3 - 3 x + 3 tem um mínimo relativo em x = 1 e um máximo relativo em x = - 1 .