Enunciado

Uma barreira de concreto cuja seção transversal é um triângulo isósceles acompanha um muro a uma distância de 1 metro em um terreno plano. A altura da barreira é de 3   m e a base da seção transversal mede 8   m . Um cano de diâmetro desprezível apoiado na barreira tem uma ponta no chão e a outra no muro (Figura Ex-60). Qual é o comprimento mínimo que pode ter esse cano?

Passo 1

Então pessoal, a fim de facilitar nossa visualização sobre o problema e também a fim de facilitar nossa visualização sobre os comprimentos que iremos constantemente falar aqui na resolução, vamos esboçar nosso problema em termos dos pontos A ,   B ,   C ,   D   e   E , se liga:

De acordo com o que foi cedido pelo enunciado, temos que:

B D - = 3

A B - = x (escolha nossa)

A D - = x 2 + 9

Por fim:

A C - = x + 5

Show, escrevemos todos os dados que temos!

Passo 2

Se observarmos a figura que desenhamos, veremos que o triângulo retângulo A B D é semelhante ao triângulo retângulo A C E , logo:

L = A E -

E por semelhança de triângulos:

A E - A C - = A D - A B -

Então:

A E - = A D - A B - . A C -

Substituindo pelos valores que encontramos no passo 1:

A E - = x 2 + 9 x . x + 5

A E - = 1 + 5 x - 1 x 2 + 9

∴ L x = 1 + 5 x - 1 x 2 + 9 ,   x ≥ 4

Vale ressaltar que essa restrição de x ≥ 4 se dá porque é o tamanho mínimo (horizontal) que o cano pode ter, de acordo com a figura do enunciado!

Passo 3

Agora que temos uma expressão para o comprimento do cano, devemos encontrar o valor de x para que L seja mínimo! Aplicando a ideia de máximos e mínimos:

d L d x = - 5 x 2 . x 2 + 9 + 1 + 5 x - 1 . 1 2 x 2 + 9 - 1 2 . 2 x

d L d x = - 5 x 2 . x 2 + 9 + x + 5 2 x 2 + 9

d L d x = x 3 - 45 x 2 x 2 + 9

Como x ≥ 4 , então d L d x > 0 SEMPRE! Sendo assim, o comprimento mínimo ocorrerá em x = 4 , pois não podemos admitir valores menores! Substituindo em L :

L 4 = 1 + 5 4 . 16 + 9

L 4 = 9 4 . 5

∴ L = 45 4   m

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

L = 45 4   m

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