Enunciado

Convergência e divergência: Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

90. a n = ∫ 1 n 1 x p d x ,   p > 1  

Passo 1

Tudo bem, galera? Última questão deste bloco. Então vem comigo que a gente vai detonar essa também!

Como de costume, nós temos que calcular o limite da sequência quando n → ∞ para ver se ela converge. Mas, no caso dessa sequência, temos que resolver a integral primeiro e, depois disso, aplicar o limite:

a n = ∫ 1 n 1 x p d x = - 1 ( p - 1 ) 1 x p - 1 | 1 n

a n = - 1 ( p - 1 ) 1 n p - 1 - 1 = - 1 ( p - 1 ) 1   -   n p - 1 n p - 1

a n = 1 ( p - 1 ) n p - 1 - 1 n p - 1

Lembrando que   p > 1 , então 1 ( p - 1 ) não é problemático.

Passo 2

Uma outra coisinha que temos que fazer antes de tomar o limite é multiplicar e dividir a sequência por 1 / n p - 1 :

a n = 1 ( p - 1 ) n p - 1 - 1 n p - 1 ⋅ 1 / n p - 1 1 / n p - 1 = 1 ( p - 1 ) 1 - 1 / n p - 1 1

Prontinho, agora a sequência está escrita numa forma bem legal pra gente aplicar o limite.

Passo 3

Aplicando o limite, ficamos com

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ 1 ( p - 1 ) 1 - 1 / n p - 1 1 = 1 ( p - 1 ) ,   p   >   1

Então, a sequência converge para 1 ( p - 1 ) . E aí, qual é a sua próxima dúvida? Responde Aí!

Resposta

Convergente. l i m n → ∞ a n = 1 ( p - 1 )

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3-12. Liste os cinco primeiros termos da sequência.12. a 1 = 2 ,a 2 = 1 ,a n + 1 = a n - a n - 1
13-18. Encontre uma fórmula para o termo geral a n da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.13. 1 , 1 3 , 1 5 , 1 7 , 1 9 …
3-12. Liste os cinco primeiros termos da sequência.4. a n = 3 n 1 + 2 n
13-18. Encontre uma fórmula para o termo geral a n da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.17. 1 2 ,- 4 3 , 9 4 ,- 16 5 , 25 6 ,…
3-12. Liste os cinco primeiros termos da sequência.11. a 1 = 2 ,a n + 1 = a n 1 + a n