É convergente ou divergente? Justifique.

sum_(n = 1)^(+ oo) [ sqrt(n + 1) - sqrt(n) ]

Passo 1

Nosso capítulo se refere ao teste da razão e da raiz, então talvez, mas só talvez, seja com esses testes que devemos resolver nosso problema. Mas qual éo teste da razão e o da raiz?

Critério da Razão: Seja a série

sum_(k = 0)^(oo) a_k

Com nosso a_k > 0 para todo k >= q , na qual q é um natural qualquer. Suponha que

underset(k -> + oo)(lim) (a_k + 1)/(a_k) = L

Exista, finito ou infinito. Então se L < 1 dizemos que a série é convergente. Se L > 1 dizemos que ela diverge. E se L = 1 , não sabemos nada. E ai é utilizar outro teste.

Critério da Raiz: Seja ao mesma série acima, na qual

underset(k -> + oo)(lim) root(k)(a_k) = L

Então vale as mesmas coisas hahaha.

Passo 2

Vamos abrir nossa série? Observe

sum_(n = 1)^k [ sqrt(n + 1) - sqrt(n) ] = [sqrt(2) - 1] + [sqrt(3) - sqrt(2)] + [sqrt(4) - sqrt(3)] + ... + [ sqrt(k + 1) - sqrt(k) ]

Perceba que os os valores tendem a se anular no próximo termo. Entretanto ficamos apenas

sum_(n = 1)^k [ sqrt(n + 1) - sqrt(n) ] = sqrt(k + 1) - 1

Se k -> oo , então

sum_(n = 1)^(+ oo) [ sqrt(n + 1) - sqrt(n) ] -> oo

Tendo assim que nossa série diverge.

Resposta

d i v e r g e n t e

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