É convergente ou divergente? Justifique.

sum_(n = 1)^(+ oo) (n^3 + 4)/(2^n)

Passo 1

Nosso capítulo se refere ao teste da razão e da raiz, então talvez, mas só talvez, seja com esses testes que devemos resolver nosso problema. Mas qual é o teste da razão e o da raiz?

Critério da Razão: Seja a série

sum_(k = 0)^(oo) a_k

Com nosso a_k > 0 para todo k >= q , na qual q é um natural qualquer. Suponha que

underset(k -> + oo)(lim) (a_k + 1)/(a_k) = L

Exista, finito ou infinito. Então se L < 1 dizemos que a série é convergente. Se L > 1 dizemos que ela diverge. E se L = 1 , não sabemos nada. E ai é utilizar outro teste.

Critério da Raiz: Seja ao mesma série acima, na qual

underset(k -> + oo)(lim) root(k)(a_k) = L

Então vale as mesmas coisas hahaha.

Passo 2

Vamos aplicar nosso teste da razão.

Então

(a_k + 1)/(a_k) = ((n + 1)^3 + 4)/(2^(n + 1)) * (2^n)/(n^3 + 4) = (n^3 + 3 n^2 + 3 n + 5)/(2 * 2^n) * (2^n)/(n^3 + 4) = (n^3 + 3 n^2 + 3 n + 5)/(2 n^3 + 8)

Agora aplicamos o limite

underset(n -> + oo)(lim) (n^3 + 3 n^2 + 3 n + 5)/(2 n^3 + 8)

Colocando noss n^3 em evidência em cima e em baixo, temos

underset(n -> + oo)(lim) (1 + (3)/(n) + (3)/(n^2) + (5)/(n^3))/(2 + (8)/(n^3)) = (1)/(2) < 1

Logo temos que nossa série, pelo teste da razão, converge.

Resposta

C o n v e r g e

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