Prove que, para todo a > 0 , a série ∑ n = 0 + ∞ a n n ! é convergente. Conclua que lim n → + ∞ ⁡ a n n ! = 0

Passo 1

FALA GALERA, BORA LANÇAR A BRABA NESSA QUESTÃO? Vem comigo, que é sucesso. Ele quer que provemos que a série converge, então utilizaremos o teste da razão para resolver essa (porque é um dos mais simples e eficazes), meu consagrado, se você não sabe o que é o teste da razão, então recomendo que dê uma olhada nas aulas que temos disponíveis sobre sequências e séries, depois volta aqui (eu espero), ENTÃO, BORA COMEÇAR.

Passo 2

Essa parte do teste da razão é bem simples, te liga:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 n + 1 ! a n n ! = L

lim n → ∞ ⁡ a n   a 1 n ! ( n + 1 ) a n n ! = L

lim n → ∞ ⁡ n ! a n   a n   a 1 n ! ( n + 1 ) = L

lim n → ∞ ⁡     a ( n + 1 ) = L

L = 0 ,   ∀ a > 0

Como L < 1 então a série é absolutamente convergente. Provando isso, é possível concluir que lim n → + ∞ ⁡ a n n ! = 0 . Já que o limite do termo de uma série convergente sempre será igual a zero.

Obs: O resultado será o mesmo para todo a > 0 devido ao módulo presente no limite, lembre-se que a =   a 2 2 , logo, sempre positivo.

Resposta

L > 1 ,   ∀ a > 0 , então a série converge

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