Enunciado

Uma cultura de bactérias começa com 500 indivíduos e dobra de tamanho a cada meia hora.

a) Quantas bactérias existem após 3 horas?

b) Quantas bactérias existem após t horas?

c) Quantas bactérias existem após 40 minutos?

d) Trace o gráfico da função população e estime o tempo para a população atingir 100000 bactérias.

Passo 1

Faaaala, gente bonita! Vamos nessa!

Esse é um problema típico sobre crescimento populacional exponencial. Mas como sabemos disso?

Foca aqui! A população vai sempre ser multiplicada por um valor fixo (nesse caso 2 , pois a população dobra) a cada intervalo de tempo. Sempre que isso acontece, temos uma função exponencial!

Vamos ver como resolver cada item dessa questão juntos!

Passo 2

No item a), precisamos encontrar tamanho da população de bactérias depois de 3 horas.

Pra isso, lembramos que a população de bactérias dobra a cada meia hora. Isso significa que, em 3 horas, a população vai ter dobrado 6 vezes. Vamos ver como fica:

500 → 1000 → 2000 → 4000 → 8000 → 16000 → 32000

Sendo assim, descobrimos que a população depois de 3 horas é de 32000 bactérias.

Passo 3

No item b), precisamos encontrar o tamanho da população de bactérias depois de t horas. Isso significa que precisamos encontrar uma maneira de expressar o tamanho da população em função do tempo.

Como sabemos que se trata de um crescimento exponencial, vamos partir da sua expressão geral:

y = A 0 b x

A partir das informações que foram dadas, conseguimos determinar os parâmetros A 0 e b .

Como sabemos que a população inicial é de 500 bactérias, podemos dizer que:

A 0 = 500

Além disso, sabemos que a população dobra a cada intervalo de tempo. Então concluímos que:

b = 2

Olha só. A nossa função agora pode ser escrita nessa forma:

y = 500 ⋅ 2 x

Legal! Pra terminar, precisamos lembrar que a população de bactérias dobra a cada meia hora. Então ajustamos dessa forma:

x = 2 t

Nossa função fica assim:

y = 500 ⋅ 2 2 t

Passo 4

No item c), precisamos calcular o tamanho da população depois de 40 minutos. Lembrando que t precisa ser expresso em horas, podemos fazer t = 40 60 → t = 2 3 . Dessa maneira, temos:

y = 500 ⋅ 2 4 / 3

Vamos tentar simplificar esse expressão trabalhando com as potências:

y = 500 ⋅ 2 3 + 1 3 = 100 ⋅ 2 1 ⋅ 2 1 / 3

Utilizando a aproximação 2 1 / 3 = 2 3 ≈ 1,260 , temos:

y = 500 ⋅ 2 ⋅ 1,260 → y ≈ 1260

Passo 5

Para plotarmos o gráfico, vamos calcular o valor da função pra alguns valores.

t = 0 → y = 500 ⋅ 2 0 → y = 500

t = 1 → y = 500 ⋅ 2 2 → y = 2000

t = 2 → y = 500 ⋅ 2 4 → y = 8000

t = 3 → y = 500 ⋅ 2 6 → y = 32000

t = 4 → y = 500 ⋅ 2 8 → y = 128000

Vamos ver como esses pontos ficam no gráfico:

A seguir plotamos um esboço da função y = 500 ⋅ 2 2 t e estimamos o encontro com a reta y = 100000 :

Vemos que a exponencial ultrapassa a reta aproximadamente em t ≈ 3,8 . Assim, após aproximadamente 3,8 horas a população de bactérias será superior a 50000 .

Resposta

a) 32000 bactérias

b) y = 500 ⋅ 2 2 t

c) 1260 bactérias

d) 3,8 horas

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