Enunciado

( a ) A curva com equação y 2 = x 3 + 3 x 2 é denominada cúbica de Tschirnhausen. Encontre uma equação da reta tangente a essa curva no ponto ( 1 ,   - 2 ) .

( b ) Em que pontos essa curva tem uma tangente horizontal?

( c ) Ilustre as partes ( a ) e ( b ) fazendo o gráfico da curva e das retas tangentes sobre uma tela comum.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... O enunciado pede a equação da reta tangente à uma curva dada por:

y 2 = x 3 + 3 x 2

No ponto ( 1 , - 2 ) .

Para acharmos da equação de uma reta, precisamos de duas informações: um ponto em que ela passa (o enunciado já forneceu) e sua inclinação.

Assim, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

Onde m representa a inclinação (ou coeficiente angular da reta) e x 0 , y 0 , os pontos dados.

Para a reta tangente, m será a derivada de y com relação a x , isto é, y ' no ponto de tangência.

Assim, para encontrar m , devemos derivar implicitamente a equação fornecida.

Também queremos encontrar pontos essa curva tem uma tangente horizontal.

Para isso, a inclinação m deve ser igual a zero, ou seja, deveremos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos!!

Por fim, também queremos plotar o gráfico da curva e da reta tangente.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

( a ) Bom galera, para encontrar a equação da reta tangente a curva devemos derivar a equação da curva em relação a x .

A curva apresentada é y 2 = x 3 + 3 x 2 .

Utilizaremos a derivação implícita para encontrar y ' :

y 2 = x 3 + 3 x 2 ∴

2 y y ' = 3 x 2 + 6 x

Veja que ao diferenciar y , multiplicamos pela sua derivada y ' . Isso ocorre devido a regra da cadeia.

Vamos agora isolar y ' :

y ' = 3 x 2 + 6 x 2 y

O enunciado nos dá o ponto ( 1 ,   - 2 ) .

Vamos substituir o ponto dado em y ' :

y ' = 3 1 2 + 6 1 2 - 2 = - 9 4

Nosso y ' é o coeficiente angular da nossa reta tangente.

Passo 3

Podemos encontrar a equação da reta tangente utilizando a fórmula

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Lembre-se que m = y ' .

Onde y 0 e x 0 são as coordenadas do ponto dado. Substituindo na formula, temos

y + 2 = - 9 4 ( x - 1 )

Nossa equação da reta tangente a curva é

y = - 9 x 4 + 1 4

Passo 4

( b ) Nossa curva possui uma tangente horizontal quando y ' = 0 .

Substituindo na expressão encontrada no item ( a ) , temos:

0 = 3 x 2 + 6 x 2 y ∴

3 x 2 + 6 x = 0

Colocando x em evidência, temos

x 3 x + 6 = 0

Dessa forma, x = 0 ou x = - 2 . Se x = 0 , então y = 0 e assim, y ' não existe. Portanto, nesse caso x = - 2 .

Substituindo x = - 2 , temos:

y 2 = - 2 3 + 3 - 2 2 ∴

y = ± 2

y pode ser - 2 ou 2 .

Assim, nossa curva possui uma tangente horizontal nos pontos ( - 2 ,   2 ) e ( - 2 ,   - 2 ) .

Passo 5

Ilustrando graficamente os itens ( a ) e ( b ) , temos a seguinte imagem:

Podemos ver as tangentes horizontais em ( - 2 ,   2 ) e ( - 2 ,   - 2 ) , ou seja, nos pontos A e B, respectivamente.

Podemos também ver a reta tangente a curva no ponto ( 1 ,   - 2 ) , ou seja, no ponto C.

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

a y = - 9 x 4 + 1 4

( b )   ( - 2 ,   2 ) e ( - 2 ,   - 2 )

( c )

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