Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 3.5 - Ex. 68

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Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de interseção. Mostre que as famílias dadas de curvas são trajetórias ortogonais uma em relação à outra, ou seja, toda curva de uma família é ortogonal a toda curva da outra família. Esboce ambas as famílias de curvas no mesmo sistema de coordenadas.

y = a x 3

x 2 + 3 y 2 = b

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos mostrar que as curvas apresentadas são ortogonais e esboçar graficamente essas curvas. Para isso, iremos utilizar a derivação implícita e comparar o coeficiente angular das curvas e suas retas tangentes. Caso o coeficiente angular de uma reta tangente à curva for a recíproca negativa do coeficiente da outra curva, as trajetórias são ortogonais uma em relação a outra.

Passo 2

Vamos utilizar a derivação implícita para encontrar a inclinação da reta tangente a curva

y = a x 3

y ' = 3 a x 2

Em um ponto arbitrário P =   ( x 0 ,     y 0 ) , a inclinação da reta tangente é

y ' = 3 a x 0 2

Passo 3

Vamos fazer o mesmo para a outra curva para encontrar y '

x 2 + 3 y 2 = b

2 x + 6 y y ' = 0

Agora, vamos isolar y ' , que é a inclinação da reta tangente a curva que derivamos

6 y y ' = - 2 x

y ' = - x 3 y

Como y = a x 3

Podemos substituir em y ' , ficando com

y ' = - x 3 y = - 1 3 a x 2

Em um ponto arbitrário P =   ( x 0 ,     y 0 ) , a inclinação da reta tangente é

y ' = - - 1 3 a x 0 2

Resposta

Como o coeficiente angular de uma reta tangente à uma curva é a recíproca negativa da inclinação da reta tangente da outra curva, ou seja, é o correspondente em sentido oposto de y ' , então todas as curvas de uma família é ortogonal a família de curvas da outra família.Graficamente

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