Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 68
Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de interseção. Mostre que as famílias dadas de curvas são trajetórias ortogonais uma em relação à outra, ou seja, toda curva de uma família é ortogonal a toda curva da outra família. Esboce ambas as famílias de curvas no mesmo sistema de coordenadas.
Passo 1
Bom galera, nesse exercício queremos mostrar que as curvas apresentadas são ortogonais e esboçar graficamente essas curvas. Para isso, iremos utilizar a derivação implícita e comparar o coeficiente angular das curvas e suas retas tangentes. Caso o coeficiente angular de uma reta tangente à curva for a recíproca negativa do coeficiente da outra curva, as trajetórias são ortogonais uma em relação a outra.
Passo 2
Vamos utilizar a derivação implícita para encontrar a inclinação da reta tangente a curva
Em um ponto arbitrário , a inclinação da reta tangente é
Passo 3
Vamos fazer o mesmo para a outra curva para encontrar
Agora, vamos isolar , que é a inclinação da reta tangente a curva que derivamos
Como
Podemos substituir em , ficando com
Em um ponto arbitrário , a inclinação da reta tangente é
Resposta
Como o coeficiente angular de uma reta tangente à uma curva é a recíproca negativa da inclinação da reta tangente da outra curva, ou seja, é o correspondente em sentido oposto de , então todas as curvas de uma família é ortogonal a família de curvas da outra família.Graficamente
Exercícios de Livros Relacionados
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais