Enunciado

A equação x 2 - x y + y 2 = 3 representa uma “elipse girada”, isto é, uma elipse cujos eixos não são paralelos aos eixos coordenados. Encontre os pontos os quais essa elipse cruza o eixo x e mostre que as retas tangentes nesses pontos são paralelas.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar os pontos onde a elipse da equação apresentada cruza o eixo x e mostrar que nesses pontos as retas tangentes são paralelas.

Então, para encontrar os pontos onde a elipse cruza o eixo x , devemos igualar y = 0 e resolver a equação para x . Assim, vamos derivar a nossa equação implicitamente e substituir os pontos encontrados para encontrar o coeficiente angular da reta y ' .

Se esses coeficientes forem iguais, as retas terão a mesma inclinação e serão paralelas.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar encontrando os pontos onde a elipse cruza o eixo x , fazendo y = 0 e resolvendo a equação para x :

x 2 - x y + y 2 = 3

x 2 - x ( 0 ) + 0 2 = 3

x = ± 3

Assim, sabemos que a elipse cruza o eixo x em

3 ,   0                   e             ( - 3 ,   0 )

Passo 3

Agora iremos encontrar a inclinação da reta tangente à elipse. Para isso, iremos utilizar a derivação implícita para encontrar y ' na equação da elipse:

x 2 - x y + y 2 = 3

2 x - x y ' - y + 2 y y ' = 0

Isolando y ' , temos:

y ' = - 2 x + y 2 y - x

Substituindo no ponto 3 ,   0 , temos:

y ' = - 2 3 + 0 2 0 - 3

y ' = 2

E substituindo no ponto ( - 3 ,   0 ) , temos:

y ' = - 2 - 3 + 0 2 0 - - 3

y ' = 2

Assim, como em ambos os pontos a inclinação é a mesma nesse ponto as retas tangentes são paralelas.

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

3 ,   0                   e             ( - 3 ,   0 )

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. y 2 y 2 - 4 = x 2 ( x 2 - 5 ) , ( 0 , - 2 ) (curva do diabo)
Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 + y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 - x 2 , 0 , 1 2 (cardioide)
Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 / 3 + y 2 / 3 = 4 , ( - 3 3 , 1 ) (astroide)
Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. 2x 2 + y 2 2 = 25( x 2 - y 2 ) , ( 3,1 ) (lemniscata)
a) A curva com equação y 2 = 5 x 4 - x 2 é chamada kampyle de Eudoxo. Encontre a equação da reta tangente a essa curva no ponto ( 1,2 ) .b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da reta tan