Enunciado

Curva do floco de neve de Helga von Koch. A curva do floco de neve de Helga von Koch é uma curva de comprimento infinito que engloba uma região de área finita. Para entender a razão disso, imagine que a curva é gerada a partir de um triângulo equilátero cujos lados têm comprimento igual a 1 .

  1. Encontre a área A n da região circundada por C n e mostre que lim n → ∞ ⁡ A n = ( 8 / 5 ) A 1 .

Passo 1

Oi galera, vem comigo no passo a passo deste exercício!

Neste exercício queremos encontrar o a área A n . Sabemos que a área de um triângulo equilátero de lado l é dado por:

A = l 2 3 4

E a área da curva é a soma das áreas geradas pelos novos triângulos que surgem a cada passo. Assim, podemos escrever que:

A = A 1 + A 2 + ⋯ + A n + ⋯

em que cada A n é a área dos novos triângulos.

Então vamos lá! Na primeira curva ( C 1 ) temos:

A 1 = 3 4

Já na segunda curva ( C 2 ), são acrescentados 3 novos triângulos cada um com a seguinte área:

A 2 = 3 ∙ 1 3 2 ∙ 3 4

E na curva ( C 3 ) são adicionados quatro novos triângulos, de aresta 1 / 9 , para cada aresta do triângulo original, sendo assim:

A 3 = 3 ∙ 4 ∙ 1 3 2 2 ∙ 3 4

Equivalentemente temos:

A 4 = 3 ∙ 4 2 ∙ 1 3 3 2 ∙ 3 4

E consequentemente, percebemos que:

A n = 3 ∙ 4 n - 2 ∙ 1 3 n - 1 2 ∙ 3 4

Passo 2

Sendo assim, a área é dada pela seguinte série geométrica:

A = 3 4 + 3 ∙ 1 3 2 ∙ 3 4 + 3 ∙ 4 ∙ 1 3 2 2 ∙ 3 4 + ⋯ + 3 ∙ 4 n - 2 ∙ 1 3 n - 1 2 ∙ 3 4 + ⋯

A = 3 4 + 3 12 + 3 12 ∙ 2 3 2 + 3 12 ∙ 2 3 4 + ⋯ + 3 12 ∙ 2 3 2 n - 4 + ⋯

A = 3 4 + 3 12 ∙ 1 1 - 4 / 9 = 3 4 + 3 12 ∙ 9 5 = 3 4 + 3 3 20

A = 3 3 + 5 3 20 = 8 3 20

E sabemos que:

A 1 = 3 4

Então para chegarmos no valor do enunciado:

A = 8 3 5 ∙ 4

A = 8 5 ∙ A 1

Espero ter conseguido ajudar, até mais pessoal!

Resposta

A n = 3 ∙ 4 n - 2 ∙ 1 3 n - 1 2 ∙ 3 4 .

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