Enunciado

Dada: f x = arctan ⁡ 1 x - a r c c o t a n   x . (a) Mostre que f ' x = 0 para todo x no domínio de f . (b) Prove que não existe uma constante C para a qual f x = C para todo x em seu domínio. (c) Por que a afirmação da parte (b) não contradiz o Teorema 5.1.2?

Passo 1

A questão fornece a função f x = arctan ⁡ 1 x - a r c c o t a n   x e pede para fazermos várias considerações acerca dela. No item (a) é pedido para provarmos que f ' x = 0 . Para isso, basta derivar a função:

f ' x = arctan ⁡ 1 x ' - a r c c o t a n   x '

Assim,

f ' x = 1 1 + 1 x 2 ⋅ 1 x ' - - 1 1 + x 2

Logo,

f ' x = x 2 x 2 + 1 ⋅ - 1 x 2 + 1 1 + x 2 = - 1 x 2 + 1 + 1 1 + x 2

Portanto,

f ' x = 0

Passo 2

No item (b) é pedido para mostrarmos que não existe uma constante única tal que f x = C para todo x no domínio de f , isto é, para mostrarmos que mesmo f tendo derivada nula em todo o seu domínio ela não é uma função constante.

Por exemplo, para x = - 1 , temos que

f - 1 = arctan ⁡ 1 ( - 1 ) - a r c c o t a n - 1 = arctan ⁡ - 1 - a r c c o t a n - 1

Sabemos que arctan ⁡ - 1 = - π / 4 , agora para a r c c o t a n - 1 teremos que usar um truque:

y = a r c c o t a n - 1 ⇒ c o t a n   y = - 1 ⇒ tan ⁡ y = - 1

Assim, pela imagem da função arco cotangente, temos que y = 3 π / 4 . Assim,

f - 1 = - π 4 - 3 π 4 = - π

Por outro lado, para x = 1 :

f 1 = arctan ⁡ 1 - a r c c o t a n   1

Analogamente, arctan ⁡ 1 = π / 4 , enquanto a r c c o t a n   1 = π / 4 :

f 1 = π 4 - π 4 = 0

Assim, vemos que f - 1 ≠ f ( 1 ) , de modo que não existe C tal que f x = C para todo x no domínio de f .

Passo 3

No item (c) é pedido para explicarmos por que a afirmação do item (b) não contradiz o teorema 5.1.2. Este teorema basicamente estabelece que se em um intervalo f ' x = 0 , então f x = C .

Neste caso, temos que f ' x = 0 em seu domínio, porém vimos que f não é constante. Isso aparentemente contradiz o teorema e a justificativa do porquê não contradiz é bem sutil: o domínio de f não é um intervalo “bonitinho”, note que x = 0 , que estaria no meio do intervalo não faz parte do domínio de f . Assim, as hipóteses do teorema não são válidas e por isso ele não é válido! Se o domínio de f fosse um intervalo e em todos os pontos desse intervalo tivéssemos f ' x = 0 , aí sim teríamos que f x = C .

Resposta

Demonstração.

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