Lista de Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Verifique a igualdade

d d x arctg ⁡ x 1 + 1 - x 2 = 1 2 1 - x 2

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Calcule o que se pede:

Seja F x = G arctan ⁡ x x - 1 , onde a função G é diferenciável. Calcule F ' 1 2 se conhecemos a informações: G ' 1 2 = - 4 ; G ' - π 4 = 2 ; G ' 3 π 4 = 4 .

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Encontre a derivada da função abaixo:

f x = arcsen ⁡ ( cotg ⁡ ( 3 x ) )

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a ) Calcule a derivada de f x = cotg ⁡ ( x ) .

b ) Use a informação da questão anterior para mostrar que D u arccotg ⁡ u = - 1 1 + u 2

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Considere a função invertível f x = 1 + 2 arctg ⁡ x .

Calcule f - 1 ' 2

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Encontre y ' , se y = y ( x ) é definida implicitamente pela equação

x arctan ⁡ y = x 2 + y ²

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Considere a função f x = sen ⁡ arctg ⁡ x , mostre que:

f ' x = 1 1 + x 2 3 / 2

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Calcule a derivada da função:

g x = arctg ⁡ e x x 3

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Seja f x = 2 x 2 + 1 arctan ⁡ x , x   ϵ   R

  1. Mostre que f é invertível
  2. Verifique que f - 1 = - π e calcule ( f - 1 ) ' ( - π )

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2) Seja

f x = 1 - cos ⁡ 2 x

Considere D o m f = π 2 , π

  1. Mostre que a função f é inversível em todo o seu domínio
  2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f - 1 (a inversa de f ) em x = 1 . Dica: não é necessário determinar f - 1 x
  3. Determine o domínio de f - 1 e uma expressão para f - 1

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6) considere f x = 8 x + arctan ⁡ x (arctan é a função inversa de tan). Então f ' 0 é igual a:

  1. 9
  2. 8
  3. 7
  4. 17 2

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