Enunciado

Dada f (x) = x^3 e g (x) = f ( x^2 ) . Encontre (a) f ' ( x^2 ) ; (b) g ' ( x ) .

Passo 1

Trata-se de um problema clássico de regra da cadeia com aquele detalhe bem sutil que pega todo mundo de surpresa. Esse tipo de exercício é muito importante para que o aluno sane completamente todas as possíveis dúvidas conceituais sobre o assunto!

Foi nos dado uma função f e uma função g que é a composta de f com x^2 . No item (a) é pedido para calcularmos f ' ( x^2 ) e no item (b) g ' ( x ) . A sutileza está aqui: no item (a) não vamos usar a regra da cadeia, porque não queremos a derivada de uma função composta, queremos apenas calcular a derivada de f quando o argumento da função for x^2 . No item (b), por sua vez, queremos a derivada de uma função composta e por isso devemos usar a regra da cadeia!

Passo 2

Já discuti com você que no item (a) não vamos usar a regra da cadeia. Bom, o que fazer então? Pense assim: ele quer f ' ( x^2 ) , então vamos calcular primeiro f ' ( x ) :

f^' (x) = 3 * x^2 = 3 x^2

Agora basta trocar x por x^2 que resolvemos nosso problema:

f^' (x^2) = 3 * (x^2)^2 = 3 x^4

Eu sei que você deve estar olhando meio torto para isso, então vou fazer resolver o exercício de novo usando um outro método. Escrever f como função de x e depois trocar x por x^2 é totalmente válido e correto, porém confunde um pouco as pessoas, principalmente no começo, então vamos fazer assim:

f (b a n a n a) = (b a n a n a)^3

Desta, podemos calcular f^' (b a n a n a) :

f^' (b a n a n a) = 3 (b a n a n a)^2

Agora vamos fazer a composição b a n a n a = x^2 :

f (x^2) = 3 * (x^2)^2 = 3 x^4

Pronto, chegamos no mesmo resultado! Agora eu desafio refazer o exercício usando sua fruta favorita!!!

Passo 3

Para o item (b) vamos usar a regra da cadeia porque g é uma função composta:

g^' (x) = f^' (x^2) * ( x^2 ) '

Bom, no item (a) já calculamos f^' (x^2) = 3 x^4 . Por outro lado, (x^2)^' = 2 x , de modo que

g^' (x) = 3 x^4 * 2 x = 6 x^5

Resposta

(a) 3 x^4 (b) 6 x^5

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