Enunciado

O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito ou a uma força de amortecimento (tal como um amortecedor em um carro) é frequentemente modelado pelo produto de uma função exponencial e uma função seno ou cosseno. Suponha que a equação de movimento de um ponto dessa mola seja

s t = 2 e - 1,5 t   s e n   2 π t

onde s é medido em centímetros e t , em segundos. Encontre a velocidade após t segundos e faça o gráfico das funções posição e velocidade para 0   ≤   t   ≤   2 .

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver essa questãozinha juntos!

Bom, nosso enunciado nos dá a função posição de um ponto da mola em movimento amortecido e pede a função velocidade pra gente Hummm... Vamos pensar um pouquinho… a velocidade a gente costuma encontrar, nos estudos de física, desse jeito, né:

V = Δ S Δ T

Opa! Então ela é uma função da variação do espaço em relação ao tempo, né? Beleza! Já descobrimos o que precisamos fazer! Temos que derivar a posição com relação ao tempo, tranquilo? Vamos fazer isso então!

V = d s d t

V = d   2 e - 1,5 t   s e n   2 π t d t

Pra derivar isso a gente pode aplicar uma regrinha de derivada… Podemos usar as regras do produto e da cadeia… São duas funções, né? Vamos fazer a derivada da primeira, vezes a segunda, somando a primeira, vezes a derivada da segunda, show? Vamos nessa!

V = - 1,5   .   2   .   e - 1,5 t   .   s e n   2 π t + 2 e - 1,5 t   .   2 π   .   c o s   2 π t

V =   - 3   .   e - 1,5 t   .   s e n   2 π t + 4 π   .   e - 1,5 t   .   c o s   2 π t

V t = 4 π   .   c o s   2 π t   - 3   s e n   2 π t   .   e - 1,5 t

Passo 2

Agora a gente precisa fazer o gráfico da função posição e da função velocidade em 0   ≤   t   ≤   2 , partiu!

Pra fazer isso a gente pode usar um excel para ter mais precisão, ou substituir uma sequência de valores e ver onde vai estar cada ponto, certo?

Nosso gráfico da função posição ficará com essa cara aqui:

E o gráfico da função da velocidade fica assim, olha só:

Prontinho! Conseguimos!

Resposta

V t = 4 π   .   c o s   2 π t   - 3   s e n   2 π t   .   e - 1,5 t e Passo 2.

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Encontre f ' ( x ) :14. f x = 12 + x 3
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Encontre a equação da reta tangente ao gráfico no ponto especificado. y = 3c o t g 4 x , x = π 4
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