Dada

f ( x ) = a x 2 + b   s e   x ≤ 1 1 x                       s e   x > 1

Ache os valores de a e b, tais que f'(1) exista.

Passo 1

Vamos primeiro reescrever a função, mas sem o módulo, pois como a função se comporta daquela maneira para x > 1 o valor de x sempre será positivo:

f ( x ) = a x 2 + b   s e   x ≤ 1 1 x                       s e   x > 1

Passo 2

Já que o enunciado diz que f ' ( 1 ) existe, então a função é contínua em 1, pois se a derivada existe em um ponto, a função é contínua nele. Então podemos dizer que os limites pela esquerda e pela direita da função são iguais:

l i m x → 1 - f x = l i m x → 1 + f x

Calculando cada um dos limites:

l i m x → 1 - f x = l i m x → 1 - a x 2 + b = a + b

l i m x → 1 + f x = l i m x → 1 + 1 x = 1

Então:

a + b = 1

Passo 3

Como o enunciado fala que f ' ( 1 ) precisa existir, a f ' ( x ) então existe, e os limites laterais dela quando x tende a 1 pela esquerda e pela direita devem ser iguais,

lim x → 1 + ⁡ f ' x = lim x → 1 - ⁡ f ' x

a f ' ( x ) então será

f ' ( x ) = 2 a x                           s e   x ≤ 1 - 1 x 2                       s e   x > 1

Aplicando o limite pela esquerda na f ' ( x ) :

f ' - 1 = lim x → 1 - ⁡ f ' x = l i m x → 1 - 2 a x = 2 a

Aplicando o limite pela direita:

f ' + 1 = lim x → 1 + ⁡ f ' x = l i m x → 1 + - 1 x 2 = - 1

Igualando as duas:

2 a = - 1

a = - 1 2

Passo 4

Substituindo o valor de a   na equação que encontramos no Passo 2:

a + b = 1

b = 3 2

Resposta

a = - 1 2

b = - 3 2

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