1.

Determine f ' , f ' ' e f ' ' ' , onde

f x = x 2 + 3 x s e x ≥ 1 5 x - 1 s e x < 1

Resolução
2.

Seja f x = sen ⁡ x x - 3 3 x ,           s e   x ≠ 0 1 ,                                             s e   x = 0  

Seja g x = sen ⁡ x - 3 2 3 . A função h x = f x g ( x ) é derivável em x = 3 ? Por que?

Resolução
3.

Seja f a função definida por

f x = x 3 - 8 3 ,                                                                                                 s e   x ≥ 0 x 3 sen ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x ,                                       s e   x < 0

( a ) Determine os pontos em que f é derivável. Justifique.

( b ) Calcule f ' ( x ) nos pontos em que f é derivável.

Resolução
4.

Seja h x = x 2 - 5 x + 4 ,   x ∈ R .

a Esboce o gráfico de h ;

b Dê os pontos onde h é duas vezes diferencial e determine h ' x   e h ' '   x .

Resolução
5.

Seja a função f tal que

f x = x 2 - 5 ,     x ≠ ± 5

Calcule f ' x .

Resolução
6.

Derive a função abaixo:

f x = e x 2 s e n x                       x ≠ 0 0                                                       x = 0      

Resolução
7.

Considere

f x = 1 - 2 sen ⁡ x ,     x ∈ - ∞ ,   0 x - 1 2 ,                           x ∈ 0 ,   1 x 2 ln ⁡ x ,                             x ∈ 1 ,   ∞

Determine a derivada de f x

Resolução
8.

Derive cada função (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função).

f x = x 3 sen ⁡ 1 x     ,       x ≠ 0   0                                     ,   x = 0

Resolução
9.

Seja

f x = arctg ⁡ 1 x cos ⁡ 3 x 2 - 1 x 2 ,     s e   x ≠ 0 0 ,                                                                                                             s e   x = 0

a ) A função f é derivável em x = 0 ? JUSTIFIQUE!

Resolução
10.

Considere f a função definida por:

f x = 2 x 2 + 2 x + a                 s e   x > 0 b                                                               s e   x = 0 x 3 + c x + 3                       s e   x < 0

( a ) Dê um exemplo de valores para a , b e c tal que NÃO exista lim x → 0 ⁡ f ( x ) .

( b ) Dê um exemplo de valores para a , b e c tal que exista lim x → 0 ⁡ f ( x )

( c ) Dê um exemplo de valores para a , b e c de forma que f SEJA contínua mas NÃO exista f ' ( 0 ) .

( d ) Dê um exemplo de valores para a , b e c de forma que EXISTA f ' ( 0 )

Resolução
11.

Considere a função definida por:

f x = x 2 - 3 x + a s e   x < 5 2 s e   x = 5 x 2 - 6 x + 5 x - 5 + b s e   x > 5

  1. Dê um exemplo de valores para a e b tal que exista lim x → 5 ⁡ f x , porém f não seja contínua em x = 5
  2. Determine a e b de forma que f seja contínua em x = 5
  3. Para os valores de a e b obtidos no item b anterior, existe f ' 5 ?
Resolução
12.

Determine a e b de modo que

f x = x 2       s e   x < 1 a x + b       s e   x ≥ 1

Seja diferenciável.

Resolução
13.

Seja f : R → R dada por:

f x = x 3 + x + 5 ,     x ≤ 1 a x + b ,     x > 1

Para que f seja derivável em 1 , a e b devem ser, respectivamente:

  1. 5 e 3
  2. 2 e 3
  3. 4 e qualquer b real
  4. 4 e 3
  5. Para nenhum valor de a e b
Resolução
14.

Para quais valores de a e b reais a função

f x = a x                                                       s e   x < 2 a x 2 - b x + 3             s e   x ≥ 2

É derivável para qualquer x ?

Resolução
15.

Use o gráfico da função para determinar os valores de x em que a função é diferenciável e indique os valores de x em que a derivada é (i) nula (ii) positiva (iii) negativa.

f   x = x 2 - 4 ,   x ≤ 0 4 - x 2 ,   x > 0

Resolução
16.

Considere as funções

g x = 1 s e x < - 1 x s e x ≥ - 1

f x = 1 s e x < 0 1 - x 2 s e x ≥ 0

  1. Encontre f ∘ g x ;
  2. Usando (a), encontre f ∘ g ' x e determine o seu domínio D ;
  3. Determine o conjunto C onde podemos aplicar a regra da cadeia para calcular f ∘ g ' x ;
  4. Usando a Regra da Cadeia, encontre f ∘ g ' x ,   ∀ x   ∈ C ;
  5. Compare (b) e (d);
  6. Esboce os gráficos de g , f   e f ∘ g ;
  7. Indique nos gráficos os pontos onde g , f   e f ∘ g não são diferenciáveis.
Resolução
17.

Use o gráfico da função para determinar os valores de x em que a função é diferenciável e indique os valores de x em que a derivada é (i) nula (ii) positiva (iii) negativa.

f   x = | x + 3 |

Resolução
18.

Use o gráfico da função para determinar os valores de x em que a função é diferenciável e indique os valores de x em que a derivada é (i) nula (ii) positiva (iii) negativa.

f   x = | x 2 - 9 |

Resolução
19.

Use o gráfico da função para determinar os valores de x em que a função é diferenciável e indique os valores de x em que a derivada é (i) nula (ii) positiva (iii) negativa.

f   x = | x |

Resolução
20.

Calcule M ' ' para a função do ex. 10. da Lista 7.

M x = x 3 sen ⁡ 1 x 4 s e x ≠ 0 0 s e x = 0  

Resolução
21.

Seja h x = x 2 - 4 ,   x ∈ R .

  1. Dê os pontos onde h é duas vezes diferencial e determine h ' x   e h ' '   x ;
  2. Esboce o gráfico de h .
Resolução
22.

Seja y = u cos 2 ⁡ u 3 .

  1. Calcule d y d u ;
  2. Se u = u x ,   calcule d y d x   e d 2 y d x ² .
Resolução
23.

Seja:

f x = x x

  1. Usando a definição, calcule a derivada de f x para todo x ≠ 0 .
  2. A derivada existe em x = 0 ?
Resolução
24.

Associe V para verdadeiro e F para falso nos seguintes itens:

Considere

g x = a x + 1 + b x + 4 ,       x ≥ 0 x + 1 1 - x ,       x < 0

Onde a e b são constantes reais.

(I) Para a = 1 e b = - 2 , a função g x é contínua em x = 0 .

(II) Para quaisquer a , b ∈ R , com a + 2 b = 1 , g x é contínua em x = 0 .

(III) Para quaisquer a ,   b ∈ R , com 2 a + b = 8 , g x é diferenciável em x = 0 .

(IV) Somente quando a = 3 ,   b = - 2 , g x é diferenciável em x = 0 .

(V) Somente quando a = 5 ,   b = - 2 , g x é diferenciável em x = 0 .

Resolução
25.

Determine valores de a e b , tais que

g x = x 3 + 2 x 2 + a x + b + 1 , s e   x ≤ 0 , a cos ⁡ x + 2 b sen ⁡ x , s e   x > 0 .

seja diferenciável em x 0 = 0 .

Resolução
27.

Considere a função: f x = x 2 ,       x ≥ 0 - x 2 ,       x < 0

Usando a definição, calcule a derivada desta função no ponto x = 0 .

Resolução
28.

Derive a função.

f x = 2 x - 8 ,   x ≠ 4

Resolução
29.

Determine a e b de modo que

f x = x 2       s e   x < 1 a x + b       s e   x ≥ 1

Seja diferenciável.

Resolução
30.

Derive a função.

f x = 2 x - 8 ,   x ≠ 4

Resolução
31.

Derive a função.

f x = x 3 sen ⁡ 1 x   ,     x ≠ 0 0   ,                                   x = 0

Resolução
32.

Derive a função (se possível, simplifique antes e/ou depois de derivar).

M x =   x 3 s e n 1 x 4       s e   x   ≠ 0 0                                             s e   x = 0

Resolução

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