Enunciado

Suponha que f ( x ) = x 3                                                   s e   x < 1 a x 2 + b x + c           s e   x ≥ 1

Ache os valores de a, b e c, tais que f " ( 1 ) exista.

Passo 1

Bom, como a segunda derivada da função existe, então a primeira existe, e então a função é contínua. Como consequência os limites laterais com x tendendo a 1 devem ser iguais:

l i m x → 1 - f x = l i m x → 1 + f x

Resolvendo os limites:

l i m x → 1 - f x = l i m x → 1 - x 3 = 1

l i m x → 1 + f x = l i m x → 1 + a x 2 + b x + c = a + b + c

A igualdade então fica:

a + b + c = 1

Passo 2

Pelo mesmo raciocínio anterior, se a segunda derivada existe, então a primeira é contínua, então vamos calcular a primeira derivada para podermos igualar os limites laterais:

f ' ( x ) = 3 x 2                                                   s e   x < 1 2 a x + b                                   s e   x ≥ 1

Igualando os limites:

l i m x → 1 - f ' x = l i m x → 1 + f ' x

Calculando cada limite ficamos com:

l i m x → 1 - f ' ( x ) = l i m x → 1 - 3 x 2 = 3

l i m x → 1 + f x = l i m x → 1 + 2 a x + b = 2 a + b

Substituindo na igualdade:

2 a + b = 3

Passo 3

E como a segunda derivada existe no ponto 1, escrevemos a segunda derivada:

f " ( x ) = 6 x                                                   s e   x < 1 2 a                                                   s e   x ≥ 1

Igualando os limites laterais:

l i m x → 1 - f " x = l i m x → 1 + f " x

Resolvendo os limites:

l i m x → 1 - f " x = 6

l i m x → 1 + f " x = 2 a

E na igualdade fica:

a = 3

Passo 4

Agora pegamos as três equações e resolvemos o sistema para encontrarmos o valor de cada letra:

a + b + c = 1 2 a + b = 3 a = 3

Substituindo a terceira na segunda

6 + b = 3

b = - 3

E por fim substituindo a e b na primeira:

3 - 3 + c = 1

c = 1

Resposta

a = 3 ,   b = - 3   e   c = 1

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