Enunciado

É dada uma função posição de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo coordenado. Use o método do Exemplo 6 para analisar o movimento da partícula em t ≥ 0 e faça um esboço esquemático do movimento (como o da Figura 4.6 . 8 ).

s = t 3 - 6 t 2 + 9 t + 1

Passo 1

Para analisar o movimento da partícula vamos achar a função velocidade derivando a função posição e a função aceleração, derivando a função velocidade, vamos lá:

v t = s ' t = 3 ⋅ t 3 - 1 - 6 ⋅ 2 ⋅ t 2 - 1 + 9 + 0 = 3 t 2 - 12 t + 9

a t = v ' t = 3 ⋅ 2 ⋅ t 2 - 1 - 12 + 0 = 6 t - 12

Passo 2

Vamos agora analisar os sinais da função velocidade e da função aceleração:

Para a velocidade vamos ver onde v t = 0 :

3 t 2 - 12 t + 9 = 0 →

t = 3

t = 1

É positiva em 0 < t < 1 e t > 3 e negativa em 1 < t < 3 .

Já para a t :

6 t - 12 = 0 → 6 t = 12 → t = 2

Para a aceleração, a t > 0 quando t > 2 e a t < 0 quando 0 < t < 2 .

A partícula acelera se a velocidade e a aceleração tiverem o mesmo sinal; e a partícula desacelera se a velocidade e a aceleração tiverem sinal oposto.

Assim a partícula desacelera em 0 < t < 1 , para em t = 1 e começa a acelerar em 1 < t < 2 , em t = 2 começa a desacelerar, desacelera em 2 < t < 3 , para agora em t = 3 e acelera em t > 3 .

Passo 3

Vamos fazer um esboço esquemático do movimento:

Resposta

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Determine a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso. f x = x 2 - 3 x + 6 ;x = - 1 , x = 2
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