Enunciado

Deduza a fórmula da derivada da função cosseno usando a fórmula da derivada da função seno, a regra da cadeia e as identidades

cos ⁡ x = s e n   π 2 - x       e       s e n   x = cos ⁡ π 2 - x

Passo 1

O exercício pede para deduzirmos a fórmula da derivada do cosseno a partir da derivada do seno usando a regra da cadeia. Isso requer um pouco de engenhosidade mas não é difícil. Considere a primeira relação dada:

cos ⁡ x = s e n   π 2 - x

Podemos reescrever essa relação como h x = f g x , onde

h x = cos ⁡ x ,     f x = s e n   x         e           g x = π 2 - x

Queremos encontrar h ' ( x ) . Para isso, vamos derivar dos dois lados e ver no que dá...

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia:

h ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Note que g ' x = - 1 , então

h ' x = - f ' g x

Como f x = s e n   x , sabemos que f ' x = cos ⁡ x , de modo que

f ' g x = cos ⁡ g ( x ) = cos ⁡ π 2 - x

Mas note que usando uma das identidades do enunciado, temos que cos ⁡ π 2 - x = s e n   x . Assim,

f ' g x = s e n   x

Portanto,

h ' x = - f ' g x = - s e n   x

Como h x = cos ⁡ x , obtivemos então

cos ⁡ x ' = - s e n   x

Resposta

-   s e n   x

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