Enunciado

Suponha que f x = 3 x + | x | e g x = 3 4 x - 1 4 | x | . Prove que nem f ' ( 0 ) , nem g ' ( 0 ) existem, mas que ( f ∘ g ) ' ( 0 ) existe.

Passo 1

Essa é uma questão interessante para usarmos como um contra exemplo da regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se f ' g x existir e se g ' ( x ) existir, então ( f ∘ g ) ' ( x ) existe e é dado por

f ∘ g ' x = f ' g x ⋅ g ' ( x )

Assim, muita gente pensa que se f ' g x ou g ' ( x ) não existirem, então ( f ∘ g ) ' ( x ) não vai existir, o que não é sempre verdade. A única coisa que podemos afirmar nesse caso é que a regra da cadeia não é válida, não que a composta não é derivável.

Note que nesse caso, g 0 = 0 , de modo que f ' ( 0 ) não existir é equivalente a f ' g 0 não existir, o que é uma das hipóteses para que possamos aplicar a regra da cadeia para calcular ( f ∘ g ) ' ( 0 ) .

Vamos provar primeiro que f ' ( 0 ) e g ' ( 0 ) não existem e para fazermos isso, não podemos usar as regras de derivação: precisamos recorrer a definição de derivada usando limite:

Uma função f é derivável em x = x 0 se o limite a seguir existir:

f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f ( x 0 ) x - x 0

Desta forma, testaremos esse limite com x 0 = 0 para as funções f e g .

Passo 2

Vamos provar primeiro que não existe f ' ( 0 ) :

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ f x - f ( 0 ) x - 0 = lim x → 0 ⁡ 3 x + | x | x = lim x → 0 ⁡ 3 + x x

Tomando os limites laterais:

lim x → 0 - ⁡ x x = lim x → 0 - ⁡ - x x = lim x → 0 - ⁡ - 1 = - 1

lim x → 0 + ⁡ x x = lim x → 0 + ⁡ + x x = lim x → 0 + ⁡ + 1 = + 1

Usei que

| x | = - x ,     x < 0 x ,     x ≥ 0

Assim, para x → 0 - , x < 0 , de modo que x = - x , enquanto para x → 0 + , x = x .

Desta forma, temos que

lim x → 0 - ⁡ 3 + x x = 3 - 1 = 2

lim x → 0 + ⁡ 3 + x x = 3 + 1 = 4

Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe de modo que f não é derivável em x = 0 , isto é, f ' ( 0 ) não existe!

Para g ' ( 0 ) , fazemos a mesma coisa:

g ' 0 = lim x → 0 ⁡ g x - g ( 0 ) x - 0 = lim x → 0 ⁡ 3 4 x - 1 4 | x | x = lim x → 0 ⁡ 3 4 - 1 4 ⋅ x x

Assim, os limites laterais serão diferentes:

lim x → 0 - ⁡ 3 4 - 1 4 ⋅ x x = 3 4 + 1 4 = 1

lim x → 0 + ⁡ 3 4 - 1 4 ⋅ x x = 3 4 - 1 4 = 1 2

Assim, o limite não existe, de modo que g ' ( 0 ) não existe.

Passo 3

Agora, nos resta mostrar que ( f ∘ g ) ' ( 0 ) existe. Para isso, vamos achar uma expressão explícita para ( f ∘ g ) ( x ) fazendo a composta:

f ∘ g x = f g x

Assim,

f g x = 3 g x + | g x |

Portanto,

f g x = 3 3 4 x - 1 4 x + 3 4 x - 1 4 x = 9 4 x - 3 4 x + 3 4 x - 1 4 x

Essa é uma expressão bem feia. Para simplificar, vamos separar em dois casos: x ≥ 0 e x < 0 . Para x ≥ 0 , temos que x = x . Assim,

f g x = 9 4 x - 3 4 x + 3 4 x - 1 4 x = 6 4 x + 2 4 x = 2 x

Já para x < 0 , temos que x = - x :

f g x = 9 4 x + 3 4 x + 3 4 x + 1 4 x = 3 x + x = 3 x - x = 2 x

Assim, em ambos os casos obtemos a mesma expressão, de modo que para todo x real:

f ∘ g x = 2 x

Essa expressão é claramente derivável com

f ∘ g ' x = 2

Em particular:

f ∘ g ' 0 = 2

Portanto, ( f ∘ g ) ' ( 0 ) existe!

Resposta

Demonstração.

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